二次函数图象(1)

二次函数图象(1)二次函数的定义：函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)叫做x的二次函数思考：你认为判断二次函数的关键是什么？判断一个函数是否是二次函数的关键是：看二次项的系数是否为0．练习：若函数y=(m2+3m-4)x2+(m+2)x+3m是x的二次函数，则m______思考一次函数的图象是，反比例函数的图象是，二次函数的图象是什么形状呢？通常怎样画一个函数的图象？我们来画最简单的二次函数y=x2的图象。还记得如何用描点法画一个函数的图象吗？一条直线双曲线解：（1）列表x…-3-2-10123…y…9410149…x…-3-2-10123…y=x2……9410149987654321-1-8-6-4-22468xyy=x2（2）描点（3）连线o议一议对于二次函数y=x2的图象，(1)你能描述图象的形状吗?(2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?(3)当x0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x0时呢?(4)当x取什么值时，y的值最小还是最大?最值是什么?你是如何知道的?(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点。二次函数y=x2的图象是.（1）抛物线的开口向上；（2）它的图象有最低点，最低点的坐标是（0，0）；（3）它是轴对称图形，对称轴是y轴。在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大。抛物线（4）图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）；（5）因为图像有最低点，所以函数有最小值，当x=0时，y最小＝0.例1在同一直角坐标系中，画出函数y=x2，y=2x2的图象。2121x…-4-3-2-101234…y=x2……210212122292988x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=2x2……0212122292988-121-6-4-2246x987654321yy=2x2y=x20y=x221-6-4-2246x987654321yy=2x2y=x20当a0，图象开口向上顶点是抛物线的最低点，a越大开口越小反之越大对称轴y=x2请同学们画出y=-x2的图象。x…-3-2-10123…y…-9-4-10-1-4-9…y它与二次函数y=x²的图象有什么关系?与同伴交流。108642-2-4-6-8-10-12-10-5510xyy=x2y=-x2y=x2与y=-x2关于x轴对称总结：二次函数y=-x2的图象是抛物线.（1）抛物线的开口向下；（2）它的图象有最高点，最高点的坐标是（0，0）；（3）它是轴对称图形，对称轴是y轴。在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少。2（4）图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最高点，坐标为（0，0）；（5）因为图像有最高点，所以函数有最大值，当x=0时，y最大＝0.探究画出函数y=-x2,y=-x2,y=-2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点。x…-3-2-10123…y=-x2……-9-4-10-1-4-9x…-4-3-2-101234…y=-x2……2102121-2-22929-8-8x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=-2x2……02121-2-22929-8-8211-1-2-3-4-5-6-7-8-9-8-6-4-22468yx021y=-x2y=-x2y=-2x2当a〈0时，图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大。对称轴(2)、开口方向：当a大于0时，开口向上；当a小于0时，开口向下。二次函数y=ax2的图象的性质(1)、顶点是原点，对称轴是y轴。yxoa0ao即:直线:x=0,还可以发现，｜a｜越大，则开口越小；｜a｜越小，则开口越大(3)、增减性a＞0a0y随x的增大而增大。在对称轴的左侧(x0):y随x的增大而减小；在对称轴的右侧(x0):当a0时当a＞0时，在对称轴的左侧(x0):y随x的增大而增大。在对称轴的右侧(x0):y随x的增大而减小。∴当x=0时,y最小值=o.∴当x=0时,y最大值=o.试一试：1、函数y=2x2的图象的开口，对称轴是，顶点是；在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而；2、函数y=-3x2的图象的开口，对称轴是，顶点是；在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而；向上Y轴（0，0）减小增大向下Y轴（0，0）增大减小3、观察函数y=x2的图象，则下列判断中正确的是（）A若a,b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相等。B对于同一个自变量x，有两个函数值与它对应。C对任一个实数y，有两个x和它对应。D对任意实数x，都有y＞0xyoA例1、已知y=(m+1)x是二次函数且其图象开口向下（1）求m的值和函数解析式。（2）x在何范围内，y随x的增大而增大?y随x的增大而减小?xyo练习一2、已知函数是二次函数，且开口向上。求m的值及二次函数的解析式，并回答y随x的变化规律xmxmymm212221、已知y=（k+2）x是二次函数，且当x0时，y随X增大而增大，则k=；k2+k-4例2、函数y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3交于点(1,b).求：(1)a与b的值；(2)求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；(3)x取何值时，二次函数y=ax2的y随x增大而增大？(4)求抛物线与直线y=-2的两交点与顶点构成的三角形的面积。OABxyy=-2先代入直线，得到交点再代入二次函数例3、求抛物线y=4x2与直线y=3x+1的交点坐标yxO求抛物线与直线的交点坐标的方法：两解析式联列方程组y=4x2y=3x+1