02-机械振动学-课件-第二章单自由度系统-gbi

厦门大学物理与机电工程学院机电工程系第二章单自由度系统主要内容2.1.概述2.2.无阻尼自由振动2.3.能量法2.4.有阻尼自由振动2.5.简谐激励作用下的强迫振动2.6.简谐激励强迫振动理论的应用2.7.非简谐激励作用下的系统响应单自由度系统的理论模型理想质量、理想弹簧、理想阻尼组成；系统的运动只沿一个方向。单自由度系统是机械振动学研究基础。2.1.概述mkcx0Ft2.1.1.线性系统与叠加原理系统受到激励，则产生响应线性系统满足叠加性和齐次性线性体统各个激励互不影响)()()()(2211txtFtxtF)()()()(12112211txatxatxFaFatF物理系统激励响应2.1.1.线性系统与叠加原理时不变集中参数线性系统由常系数线性微分方程描述2102()dxdxaaxFtdtdt212112012122()()()()()ddxxaxxaxxFtFtdtdt)()()()(2211txtFtxtF01,aa是决定于系统的系数。2.1.2.非线性系统的线性化单摆的运动微分方程为非线性θlommgsin0gl)61(6sin23将sinθ做Taylor展开微幅振动决定于分析要求的精度2.2.无阻尼自由振动质量为m的质量块和弹簧常数为k的弹簧是组成振动系统最基本的元件。mkx02.2.无阻尼自由振动mδstkW＝mgkδstK(δst+x)W＝mgm0xmstkmgW静平衡条件：给予系统某种扰动：x)(xkmgWst2.2.无阻尼自由振动根据牛顿第二定律：()0stWkxmxmxkx如果坐标原点选在系统的静平衡位置，则可不考虑重力的影响。2.2.无阻尼自由振动单自由度无阻尼系统的运动微分方程：0mxkx2()0ststxtcemskce设,带入微分方程2221,2jnnnkmss令，则＋=0解得＝2.2.无阻尼自由振动112212()()()()()jjnnttxtcextcextxtxt方程两个独立的特解＝＝方程解12121212()()cos()sincossincosjjeennttnnnnnxtcccctjcctDtDtRt－=nkm简谐振动固有频率：2.2.无阻尼自由振动振幅与初相位000(0)xxxx初始条件000000arctan0πarctan0nnxxxxxx1020()cos()nnDxDxxtAt与初始条件和系统参数有关022000,tannnxxAxx2.2.无阻尼自由振动例、2.3.能量法机械能守恒定律kmx0无阻尼弹簧质量系统，没有能量耗散，没有持续的激励。0)(UVdtdEUV＝常数2.3.能量法用能量法确定运动微分方程系统动能：系统势能：重力势能与弹性势能之和。212Vmx2012xstUmgkdkx2211022ddVUmxkxxmxkxdtdt0mxkx2.3.能量法用能量法确定系统固有频率对于保守系统：maxmaxUT222maxmax222cos()sin()11,221122nnnnnnxtAtxtAtTmAUkAmAkAkmkmx02.3.能量法用能量法确定弹簧等效质量已知：弹簧单位长度重量为r；弹簧位移速度线性变化0kmxξdξlx,xxxxll系统位移速度处位移为：速度为：220221121)2123123lrTxdglrlxgrlmmTxg弹簧的动能＝（令弹簧的总质量则2.3.能量法21211221121()23123.3nmTmxmTTTmxUkxmkmmm质量块的动能总动能系统势能2.4.1.粘性阻尼2.4.2.粘性阻尼自由振动2.4.3.结构阻尼2.4.4.库仑阻尼2.4.有阻尼自由振动粘性阻尼2.4.1.粘性阻尼dL44dFLdvcv2.4.2.粘性阻尼自由振动mkcx0mcxkx0mxcxkx2.4.2.粘性阻尼自由振动,()()()122212120022tttmxcxkxxtBemckcckmmmxtBeBe假定解为特征方程：方程的通解2.4.2.粘性阻尼自由振动()()122122ctmcmxtBBte两实特征值==-方程的通解,2002222nnckcmmmcmmk当则＝定义为临界阻尼2.4.2.粘性阻尼自由振动022ncmkm21,2()22cckmmm()2120021211nnncccc，，则=或==022nccccmmk阻尼比2.4.2.粘性阻尼自由振动特征值特征值的性质决定于(1).21,21nn1,20nsinxtAt2n020)/(xxA0n000n00arctan0πarctan0xxxxxx2.4.2.粘性阻尼自由振动(2).01,()()()()sin()()222121112211nnnnjtjttddnjxtBeBeAet特征值为两共轭复根小阻尼2.4.2.粘性阻尼自由振动(2).01小阻尼()sin()()21ntddnxtAet2.4.2.粘性阻尼自由振动(3).112n12()etxtAAt000()txtexxxt00xx00xx2.4.2.粘性阻尼自由振动(4).121,2nn112002010121eettxtxxxx1212()ttxtAeAe00xx）（00xx）（强阻尼2.4.2.粘性阻尼自由振动,/().().////././.11223301100000100410202512520105025ncmxcxkxmkgkNmxmxmsradscNsmcNsmcNsmcNsm2.4.2.粘性阻尼自由振动例一阻尼弹簧－质量系统，m=8kgk=5N/mmc=0.2Ns/mm。试确定质量m振动时的位移表达式。.//...(.)./()sin(.)212551000825228254000204051052521652165ncncdtkmradscmNsmccradsxtAet无阻尼固有频率对数衰减率例、有一个有阻尼系统，质量为m，弹簧常数为k，测量得到其振动数据，试确定其阻尼大小。2.4.2.粘性阻尼自由振动()()cos()()sin()niniiitdiiTitTdixxtAetxxtTAet2.4.2.粘性阻尼自由振动对数衰减率（续）对数衰减率lnlnnnTiiTTiniTxexxeTx前后幅值比常数令2222221214dnT2.4.2.粘性阻尼自由振动对数衰减率（续）小阻尼2224有阻尼系统，由自由振动数据求阻尼大小。更精确起见，一般情况下用相隔n个周期的振动幅值之比来计算系统阻尼。lniinTxnx结构阻尼——弹性材料受力变形而产生的内摩擦。——用能量损失定义，与振幅呈非线性关系。2.4.3.结构阻尼2EhAAAOFx2.4.4.库仑阻尼库仑阻尼——物体在无润滑的表面滑动产生的干摩擦。——干摩擦力大小正比于接触表面间的法向力，方向与运动方向相反：dxFWxWSgnxmkOxWW2.4.4.库仑阻尼库仑阻尼系统的运动方程：0mxWSgnxkx00mxkxWxmxkxWxsinsin00nnWxtAtxkWxtAtxk2.4.4.库仑阻尼假定系统受到初始条件的作用，系统向左运动，则系统位移表达式为：2nTt00xx00xcos0nWWxtxtkkmkOxWWsin00nWxtxtk运动反向时刻速度为零：02nWxxk反向时刻的位移：m运动到左边的最大位移比原始位移x0小了。2Wk2.4.4.库仑阻尼对于下半个循环初始条件为：020nnxxWkxcos03nWWxtxtkk则：－2ntT速度为零时刻：024nWxxk向右最大位移：2.5.简谐激励作用下的强迫振动2.5.1.简谐激励作用下的强迫振动2.5.2.旋转不平衡质量引起的强迫振动2.5.3.基础运动引起的强迫振动2.5.1.简谐激励作用下的强迫振动sinmxcxkxFtmkc0sinFtmkxcxsinFt2.5.1.简谐激励作用下的强迫振动2012()nnftcctctct为多项式，特解：(),ststftceDe特解：()sin,sinftCtDt特解：mxcxkxft二阶常系数线性非齐次微分方程：方程解为对应的齐次方程的通解加上特解。复习2.5.1.简谐激励作用下的强迫振动sinjtFeFt以代换代入运动微分方程，得:2.5.1.简谐激励作用下的强迫振动齐次方程的通解：0mxcxkx()sin()nthdxtAet2cmk2211dnkm2.5.1.简谐激励作用下的强迫振动求非齐次方程的特解。jtmxcxkxFe22()()jtsjtjtjxtXemjckXeFeFXXekmjc假定方程的特解为：则：从而：复振幅2222arctan()()FcXXArgXkmkmc其中：2.5.1.简谐激励作用下的强迫振动因此，非齐次方程的特解为：最终得到方程的解为：2222ImcossinnhstdxtxtxtAetFtkmcsinmxcxkxFtjtsxtXe2.5.1.简谐激励作用下的强迫振动方程描述的振动运动：sinmxcxkxFt2.5.1.简谐激励作用下的强迫振动方程描述的振动规律：1、系统运动是频率为和的两种简谐振动的合成；2、阻尼的存在使得简谐振动逐渐衰减消失，xh(t)和xs(t)的合成运动仅存在于有限时间，称为瞬态振动；3、系统持续振动只与外界激励有关的响应xs(t)，xs(t)称为稳态振动、稳态响应或强迫振动。sinmxcxkxFtdd2.5.1.简谐激励作用下的强迫振动强迫振动的性质系统的稳态响应与激励力同频，滞后sinxtXt强迫振动的幅值和相位只与外界激励和系统参数有关，与初始条件无关。F，wm,k,c2.5.1.简谐激励作用下的强迫振动强迫振动振幅：222222222202222220222()(1/)/(1/)4/(1)(2)nnnFXkmcFkckXXrr0等效静位移：XFk频率比：nr2202222()44nccmkk＝2.5.1.简谐激励作用下的强迫振动22201(1)(2)放大因子：X