用空间向量计算夹角问题

•线线角•复习•线面角•二面角•小结•引入利用向量解决夹角问题紫阳中学陈兴平2020/2/71•线线角•复习•线面角•二面角•小结•引入空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间角问题。2020/2/72123(,,)aaaa1.若，123(,,),bbbb则：数量积：ab112233ababab夹角公式：cosab111222(,,),(,,)AxyzBxyz2.若，则：212121(,,)xxyyzzAB•线线角•复习•线面角•二面角•小结•引入||||abab112233222222123123abababaaabbb||||cos,abab2020/2/73异面直线所成角的范围：0,2ABCD1D,CDAB与的关系？思考：,DCAB与的关系？结论：coscos,CDAB||题型一：线线角•线线角•复习•线面角•二面角•小结•引入2020/2/74例一：090,RtABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F题型一：线线角•线线角•复习•线面角•二面角•小结•引入2020/2/75解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：CxyzA1AB1BC1C1D1Fxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB11111(,0,),(,,1)222FaD所以：11(,0,1),2AF111(,,1)22BD11cos,AFBD1111||||AFBDAFBD113041053421BD1AF所以与所成角的余弦值为3010题型一：线线角12020/2/76练习：题型一：线线角在长方体中，1111ABCDABCD58,ABAD=，14,AA1112,MBCBM为上的一点,且1NAD点在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4),AM1(0,8,4),AD10AMAD＝1.ADAMADANM（2）求与平面所成的角.1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M2020/2/77题型二：二面角二面角的范围：[0,]1n2n2n1ncos12|cos,|nncos12|cos,|nnABO关键：观察二面角的范围•线线角•复习•线面角•二面角•小结•引入2020/2/78题型二：二面角,1,1,,2.AABCDSAABBCADSCDSBA0例三如所示，ABCD是一直角梯形，ABC=90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDS2020/2/79,1,1,,2.AABCDSAABBCADSCDSBA0例三如所示，ABCD是一直角梯形，ABC=90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDSxyz解：建立空直角坐系A-xyz如所示,A(0,0,0),11(1,,0),(0,,1)22CDSDC(-1,1,0),1,0),2D(0,(0,0,1)S11(0,,0)2SBAnAD易知面的法向量设平面2(,,),SCDnxyz的法向量22,,nCDnSD由得：0202yxyz22yxyz2(1,2,1)n任取1212126cos,3||||nnnnnn63即所求二面角得余弦值是2020/2/710题型二：线面角直线与平面所成角的范围：[0,]2ABO,nBA与的关系？思考：n结论：sincos,nAB||题型三：线面角•线线角•复习•线面角•二面角•小结•引入2020/2/711例二：题型三：线面角在长方体中，1111ABCDABCD58,ABAD=，14,AA112,MBCBM为上的一点,且1NAD点在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1CMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD1(0,8,4),ADADANM（2）求与平面所成的角.1(0,0,4),A(0,8,0),D•线线角•复习•线面角•二面角•小结•引入1cos,ADAD255ADANM与平面所成角的正弦值是2552020/2/712练习：1111ABCDABCD的棱长为1.111.BCABC求与面所成的角题型三：线面角正方体ABCD1A1B1C1D•线线角•复习•线面角•二面角•小结•引入2020/2/713小结：1.异面直线所成角：coscos,CDAB||2.直线与平面所成角：sincos,nAB||3.二面角：cos12|cos,|nncos12|cos,|nn关键：观察二面角的范围ABCD1DABOn1n2n2020/2/714F1E1C1B1A1D1DABC例1、如图，在正方体中，，求与所成的角的余弦值1111ABCDABCD1BEz11111114BEDFAB1DFyx2020/2/715例1如图，在正方体中，，求与所成的角的余弦值。1111ABCDABCD11BE11114ABDF1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1,0),1,,1,4BE11(0,0,0),0,1.4，DF1311,,1(1,1,0)0,,1,44BE2020/2/716例1如图，在正方体中，，求与所成的角的余弦值。1111ABCDABCD11BE11114ABDF1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCxyzO1110,1(0,0,0)0,1.44，，DF1111150011,4416BEDF111717||,||.44BEDF111111151516cos,.17||||171744BEDFBEDFBEDF2020/2/717例2xyzA1D1C1B1ACBDFE2020/2/718362,0,00,1,330,0,3320,1,33PC362,1,330,2,00,1,30,0,0PCPCBAO·例3.如图,空间四边形PABC的每条边及对角线的长都是２，试建立空间直角坐标系，并求出四个顶点的坐标.zxyyxzO·xyz362,0,330,1,00,0,30,1,0PC2020/2/719例4．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，(1)求平面ABCD的一个法向量；(2,1,4)AB(4,2,0)AD(1,2,1)AP（2）求证：是平面ABCD的法向量；AP（3）求平行四边形ABCD的面积．2020/2/720在棱长为1的正方体中，E,F分别是DD1,DB中点，G在棱CD上，，H是C1G的中点，xyzHGFEABCDA1B1C1D1练习（1）求证：；（2）求EF与C1G所成的角的余弦；（3）求FH的长14CG=CD1111ABCDABCD1EFBC（用空间向量法解决以上问题）（4）求平面EFH的一个法向量１.2020/2/721练习2.证明四点A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17)共面2020/2/722FEABA1DCC1B1D1证明:练习32020/2/723FEABA1DCC1B1D1证明:建立空间直角坐标系O-xyz则D(0,0,0),A1(1,0,1)练习3001,121,21,211DAEF,21,1,1E1,21,21F21,21,21EF2020/2/724DABA1CC1B1D1证明:，11DDDCDADBDADCAC0)DADC()DDDCDA(ACDB11DADDAD110)DADD()DDDCDA(ADDB1111练习42020/2/725ABA1DCC1B1D1练习4证明:1,ADACA又建立如图空间直角坐标系则D(0,0,0),B1(1,1,1)A(1,0,0),D1(0,0,1),C(0.1,0),)1,1,0(CD),01,1(),1,1,1(1ADDB11ACDDB平面111,DBACDBAD2020/2/726