线性规划典型例题整理与归纳

课题：线性规划典型问题整理与训练课前的话：对典型问题进行梳理与训练，是提升学习效果的有效途径。1255334xyxyx设z=2x+y,求满足时,求z的最大值和最小值.线性目标函数线性约束条件线性规划问题任何一个满足不等式组的（x,y）可行解可行域所有的最优解解线性规划问题的步骤：（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；（3）求：通过解方程组求出最优解；（4）答：作出答案。（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；(1)若z=2x+y,求z的最值.≤≥例.已知、满足≤43,13525.1.xyxyxyx551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABC551xyO551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABCmaxZ25212,minZ2113.解：画出可行域如图：画出直线2x+y=0并平移得点A使Z最大，点B使Z最小。2x+y=0由求出A为（5,2)。02553034yxyx由求出B为（1，1)。0341yxx551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABC551xyO551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABC(2)若z=2x-y,求z的最值.解：画出可行域如图：画直线2x-y=0并平移得点A使Z最大，点C使Z最小。由可得C为（1,4.4）025531yxx由可得A为（5,2）02553034yxyx8252maxz4.24.412minz≤≥例.已知、满足≤43,13525.1.xyxyxyx(3)若z=x2+y2,求z的最值.551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABC551xyO551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABCmin2,zmax29.z解：画出可行域如图：表示可行域内的点（x,y)到原点的距离的平方，22yxz由求出A为（5,2)。02553034yxyx由求出B为（1，1)。0341yxx由图可得点A使Z最大，点B使Z最小。≤≥例.已知、满足≤43,13525.1.xyxyxyx551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABC551xyO551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABC解：画出可行域如图：由求出A为（5,2)。02553034yxyx由图可得点C使Z最大，点A使Z最小。(4)若求z的最值.,yzx表示可行域内的点（x,y)与原点连线的斜率，,yzx由可得C为（1,4.4）025531yxxmax20.4.5OAzkmax4.44.4,1OCzk≤≥例.已知、满足≤43,13525.1.xyxyxyx(5)求可行域的面积和整点个数.551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABC551xyO551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABC1||2SBCh13.446.8.24221110解：画出可行域如图：求A出为（5,2），B为(1，1)，C为(1,4.4）。[例1]某校食堂以面食和米食为主，面食每百克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元；米食每百克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元．学校要给学生配制成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，应如何配制盒饭，才既科学又使费用最少？解析：这是一个最优化问题，应先设出目标变量和关键变量并建立目标函数，然后根据目标函数的类型，选择合适的方法求最值。目标函数往往是一元二次函数或分式函数或三角函数或二元函数。如是一元二次函数一般用配方法求最值，如是三角函数一般用化一角一函数的方法求最值，如是分式函数一般用基本不等式法求最值，如是二元函数一般用线性规划法求最值，有时也可用基本不等式法求最值。．解：设每份盒饭中面食为x百克，米食为y百克，费用z元。目标函数为：z＝0.5x＋0.4y线性约束条件为：0,01074836yxyxyx画出可行域如图：画出直线0.5x+0.4y=0并平移得点A使Z最小。0.5x+0.4y=0A求出点A为1514,1513所以每份盒饭中有面食百克，米食为百克，费用最省。15131514[例2]某工厂生产甲、乙两种产品，每生产1t产品需要的电力、煤、劳动力及产值．如下表所示：品种电力(千度)煤(吨)劳动力(人)产值(千元)甲4357乙6639该厂的劳动力满员150人，根据限额每天用电不超过180千度，用煤每天不得超过150t，问每天生产这两种产品各多少时，才能创造最大的经济效益？解：设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，可得产值z千元。目标函数为：z＝7x＋9y线性约束条件为：150351506318064yxyxyx画出可行域如图：画出直线7x+9y=0并平移得点P使Z最小。求出点P为)7100,7150(所以每天生产甲产品吨，乙产品吨时，效益最大。71507100Q已知满足不等式yx,,3006xyxyx求：(1).xyz3的范围;(2).12xyz的范围.解:(1)表示可行域内任一点与定点Q（0,-3）连线的斜率,xyz3因为,0,2QBQAkk所以z的范围为.),0[]2,(例4BCA6y4xO62242420yx06yx3x(2).表示可行域内任一点与定点12xyz因为,21,25RBRAkkR（-1,-2）连线的斜率,R所以z的范围为.),21[]25,(点评：此类问题转化为可行域内的点到定点的斜率.BCA6y4xO62242420yx06yx3xN求：(1).最大值和最小值;(2).222yxxz最大值和最小值;22yxz22yxz解:(1)表示可行域内任一点),(yx到原点)0,0(O的距离的平方.过O向直线ACBC、作垂线,垂足非别为.A、N易知,)9,3(C到O距离最大,此时,909322maxz.00022minz例3已知满足不等式yx,,3006xyxyxBCA6y4xO62242420yx06yx3xP3.(2).解:1)1(22222yxyxxz表示可行域内任一点到定点)0,1(M距离的平方再减去1.过M作直线AB的垂线,垂足是P由直角三角形直角边与斜边关系,容易判断出z的最小值是,21||MPz的最大值为.96||MC点评：此类问题转化为可行域内的点到定点的距离.MBCA6y4xO62242420yx06yx3x•[变式训练1]某人需要补充维生素，现有甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含有维生素A，C，D，E和最新发现的Z，甲种胶囊每粒含有维生素A，C，D，E，Z分别是1mg,1mg,4mg,4mg,5mg；乙种胶囊每粒含有维生素A，C，D，E，Z分别是3mg,2mg,1mg,3mg,2mg.若此人每天摄入维生素A至多19mg，维生素C至多13mg，维生素D至多24mg，维生素E至少12mg，那么他每天应服两种胶囊各多少粒才能满足维生素的需要量，并能获得最大量的维生素Z?解析：设该人每天服用甲种胶囊x粒，乙种胶囊y粒，得到维生素Zzmg，由题意得x＋3y≤19，x＋2y≤13，4x＋y≤24，4x＋3y≥12，x≥0，y≥0，目标函数为z＝5x＋2y.•作出不等式组表示的平面区域如图所示，•作出5x＋2y＝0.•把直线向右上方平移，直线经过可行域上的点M时，z＝5x＋2y取得最大值．解方程组x＋2y＝13，4x＋y＝24.得M点坐标为(5,4)，此时z＝5×5＋2×4＝33(mg)．故每天应服5粒甲种胶囊，4粒乙种胶囊才能满足维生素需要量，且能得到最大量的维生素Z.【6】已知x,y满足0,1,1.xyxyy≥≤≥若取得最小值的点有无穷多个，则m=.)0(mmyxz-11zyxmm(2,1)(1,1)11(,)22111mm【6】已知x,y满足0,1,1.xyxyy≥≤≥若取得最大值的点有无穷多个，则m=.zxmy11zyxmm0m①时,11m1m0m②时,