叶中豪平面几何讲座2

11、一道有趣的新编题设D、E、F是△ABC的内切圆的切点，O、I分别是其外心和内心，在DI、EI、FI的延长线上分别截取IA'＝IB'＝IC'＝R（外接圆半径）。求证：AA'＝BB'＝CC'＝OI；且直线AA'、BB'、CC'共点于外接圆上一点P，P关于△ABC的Simson线恰垂直于OI。2、大家来讨论一下中等数学高248号问题怎么解决本题结论优美，是Fuhrmann圆的推广。（当P点取垂心时即得到Fuhrmann圆）2呵呵，没有必要Menelaus定理，有如下巧证：如图，自A、B、C分别作PA、PB、PC的垂线，围成△DEF。取△DEF的内心I。易见A1在以PD为直径的圆上，且因A1是BC弧中点，故D、I、A1共线。得∠PA1I＝90°。同理∠PB1I＝∠PC1I＝90°。故A1、B1、C1、P、I五点共圆。证毕3评注：《近代欧氏几何学》第7章§207定理（曼海姆）：“如图，设△DEF是△ABC的内接三角形，△DEF关于△ABC的Miquel点为M。设任意三条共点直线AP、BP、CP交相应的Miquel圆于A1、B1、C1，则A1、B1、C1、M、P五点共圆。”4取P为△ABC的内心，并改换△DEF作为立足点，即可得到原题。3、垂极点研究已知△ABC和任意直线x，自A、B、C作x的垂线，垂足分别为A′、B′、C′；再自A′、B′、C′分别作对边BC、CA、AB的垂线，那么这三条垂线一定共点。5这一结论用平方差原理不难论证，它属于两个三角形正交的一种退化情形。（其中退化三角形就是A′B′C′）所共点X，可称为△ABC关于直线x的“垂极点”（orthopole），见《近代欧氏几何学》§406。垂极点在近代欧氏几何里是个相对重要的概念，曾被Neuberg、Soons、Gallatly等人广泛研究。它与Simson线甚至费尔巴哈定理都有深刻联系，如：性质1倘若一条直线x与△ABC的外接圆相交，则其垂极点正是两个交点处Simson线的交点。性质2若直线经过外心，则其垂极点在△ABC的九点圆上。4、我于多年前也曾对垂极点作过一番考察，得到它的一些有趣属性，有机会再详作介绍。如：6外接圆切线的垂极点，一定位于由Simson线的包络所形成的Steiner三叶内摆线上。正由这一性质，就可以在几何画板中方便地作出轨迹型的Steiner三叶内摆线了：另外还有一个奇妙结论，先介绍于此。考虑直线x绕着定点P旋转，这时其垂极点的轨迹总是一个椭圆。有意思的是：这个椭圆始终与上述Steiner三叶内摆线保持相切！7当旋转中心选为外心时，椭圆退化为圆——即△ABC的九点圆，这相当于上面的性质2；（注：这也就表明，过外心的每条直线，相应于九点圆上某点。这是考察Feuerbach定理的一个有效视角。）当旋转中心位于△ABC的外接圆上时，椭圆退化成这点对应的Simson线上的一条线段。我曾将此改编成一道习题，它与梁绍鸿《初等数学复习及研究（平面几何）》复习题三第53题比较类似。由于有了垂极点的协助，画Steiner三叶内摆线及其切线就易如弹灰。这里我又改进了上次传过的一个gsp文件：“Steiner三叶内摆线的切线”，在连续性上已有所改观，现重新传至公共邮箱，欢迎大家一试。（注：在第3页面）8当直线平移时，其垂极点的轨迹显然是一条垂直于它的直线。倘若将平移视作绕“无穷远点”的旋转，则还易说明这条轨迹（注：理解为无穷大椭圆）刚好是Steiner三叶内摆线的切线。9一条直线并非总有资格作为Simson线，前提是它恰与Steiner三叶内摆线相切。那么Simson线的垂极点又有什么特点呢？几何画板显示Simson线的垂极点全体为一条经过垂心的三叶玫瑰形曲线，它恰好就是垂心H在Steiner三叶内摆线的动切线上射影的轨迹！对此，可总结出如下：命题某点所对应的Simson线之垂极点，恰是垂心在其对径点所对应的Simson线上的射影。10由垂极点倒过去确定直线（可相应称为其垂极线）的问题相当深刻，体现了Simson线的实质。垂极点对应的垂极线至多有三条，至少有一条。这与共有几条Simson线经过该点这一问题相吻合。也就是说：若点X位于Steiner三叶内摆线外部时，它对应唯一的一条垂极线；当点X在Steiner三叶内摆线的边界上时，它对应于两条垂极线；当X位于Steiner三叶内摆线内部时，它对应于三条垂极线。可将后者叙述成：11命题若△ABC外接圆上三点D、E、F的Simson线共点于X，则直线DE、EF、FD均以X点为其垂极点。关于三条Simson线何时共点，矢野健太郎《几何的有名定理》有详细讨论：1213由外接圆上满足波朗杰-藤下定理的三点作出所共点X相当容易；但反过来，想由X点作出通过它的Simson线，却非尺规所能；相应的，由垂极点逆向确定垂极线的问题，在几何画板中也几乎没有实现的指望。Simson线的垂极点有一条十分接近Steiner定理的性质：14好像并不容易。看谁能给出简洁证法？有了这条性质，就可得到：定理完全四边形中，每条直线关于另三条直线所围成三角形的垂极点一定共线！15Simson线的垂极点有一条十分接近Steiner定理的性质：16好像并不容易。看谁能给出简洁证法？有了这条性质，就可得到：定理完全四边形中，每条直线关于另三条直线所围成三角形的垂极点一定共线！17所共的这条直线就是该完全四边形的垂心线。还可进一步探索这条垂心线上12个点的分布规律，其中M1、M2、M3、M4是Miquel点关于四条直线的轴对称点，H1、H2、H3、H4是四个三角形的垂心，X1、X2、X3、X4是每条直线关于另三条直线的垂极点。18昨天提到Simson线的垂极点全体形成一条经过垂心的三叶玫瑰形曲线。由Carnot定理知，广义的Simson线还可以“带着角度跳舞”，即我曾在“数学发现之旅”中提到的斜足线：=3412890&oldpage=1&thesisid=494&flag=topic119本质上，任意直线都有资格作为斜足线，这时控制点P就是这条直线与三角形三边所形成的完全四边形的Miquel点。让倾斜角度保持不变，而使P点沿着外接圆运动，观察到直线的垂极点轨迹仍是一条经过垂心的三叶玫瑰形曲线，而且也与Steiner三叶内摆线保持相切。它是垂心H在上述三叶内摆线的动切线上射影的轨迹（下图中红色虚线）绕着H旋转－θ然后再放大1/cosθ倍所得，两者是一种相似旋转关系。20对这一现象作深度加工，就可获得如下有趣结论：21如图，P和Q是外接圆上两点，它们与外心O形成底角为θ的等腰三角形。作出P点转角为θ的斜足线x，则这条斜足线一定与Q点的Simson线相垂直。而且直线x的垂极点X恰好落在Q点的Simson线上，垂心H与X点的联线与Simson线的倾斜角等于90°－θ.22外接圆的同心圆切线之垂极点轨迹是长辐（或短辐）型的三叶内摆线，其本轮仍是过Steiner曲线三个尖点的“外接圆”，它的大小是原三角形九点圆的三倍，它的动轮大小与九点圆相等。2002年８月时（当时用的还是几何画板3.09版），我曾费尽心机构造出本轮和动轮的联动效果，使得垂极点恰好成为动轮上的相对固定点，这样就有力映证了上述垂极点的轨迹确是长辐（或短辐）三叶摆线。遗憾的是，经过多次电脑重装，现已找不到当时的gsp文件了，只留下了几幅截图：2324以下是引用老封的发言：[i]Simson线的垂极点有一条十分接近Steiner定理的性质：25又一性质26过外接圆上一点P作其Simson线的平行线，则这条平行线关于△ABC的垂极点是P点的Simson线与九点圆的交点之一。注：垂心与P联线过Simson线与九点圆的另一交点。（Steiner定理：交点就是HP中点）27今晨成功作出了外接圆同心圆的切线的旋轮线模式（注意：本轮和动轮与九点圆大小的比值并非固定，与我记忆中有出入）。下图中，P点可控制同心圆大小，现已上传至公共邮箱，欢迎大家一试。28