1函数展开成幂级数

19-5函数展开成幂级数2定理若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续；且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同，即00limnnxxnax00lim()nnxxnaxx收敛域1.幂级数和函数的分析运算性质:0()nnnSxax(,)xRR(,)xRR0()nnnax0()nnnax00()dxnnnaxx00()dxnnnaxx复习3•求部分和式的极限二、幂级数和函数的求法求和•逐项求导或求积分法逐项求导或求积分0()nnnax*()Sx对和式积分或求导)(xS难（在收敛区间内）nnnxa04第五节本节内容:一、泰勒(Taylor)级数二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数第九章展开方法直接展开法间接展开法5则称函数在该区间内能展开成幂级数给定函数如果能找到一个幂级数，使得函数能展开成幂级数的定义:它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数)(xf0nnnax例如:xe23111,2!3!xxxxln(1)x23,1123xxxx6则称函数在该区间内能展开成幂级数给定函数如果能找到一个幂级数，使得函数能展开成幂级数的定义:它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数)(xf0nnnax问题:1.如果能展开,是什么?na2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?7则称函数在该区间内能展开成幂级数给定函数如果能找到一个幂级数，使得函数能展开成幂级数的定义:它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数)(xf0nnnax例如:xe23111,2!3!xxxxxe231111()2!3!!nnxxxxRxn无穷级数有限形式表示函数8一、泰勒(Taylor)级数)()(0xfxf))((00xxxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中)(xRn(在x与x0之间)称为拉格朗日余项.10)1()(!)1()(nnxxnf则在若函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n阶泰勒公式,该邻域内有:1.回忆泰勒公式9)(0xf))((00xxxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)(为f(x)的泰勒级数.则称待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,2.泰勒级数定义:当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.0)(!)0(nnnxnf()000()()!nnnfxxxn)(xfnnnxxnxf)(!)(000)(？)(xf()000()()()!nnnnnfxxxRxn10定理1.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:lim()0.nnRx证明:()000()()(),!nnnfxfxxxn)()()(1xRxSxfnn)(limxRnn)()(lim1xSxfnn,0)(0xx()0100()()()!knknkfxSxxxk令)(0xx设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有3.泰勒级数的收敛定理:泰勒级数收敛于f(x)11定理2.若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式是惟一的,且证:设f(x)所展成的幂级数为则;2)(121nnxnaxaaxf)0(1fa;)1(!2)(22nnxannaxf)0(!212fa;!)()(nnanxf)0()(!1nnnfa显然结论成立.)0(0fa()1(0)(0,1,2,)!nnafnn，，4.系数的惟一性定理:12说明：001()()nnnfxaxx）用可构造，()00,1,2,1()()!nnafxnn其中，2)幂级数的展开式是唯一的.()000()3()()lim()0!nnnnnfxfxxxRxn），)(xf0nnnax？问题:1.如果能展开,是什么?na2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?13二、函数展开成幂级数1.直接展开法由泰勒级数理论可知,展开成幂级数的步函数)(xf第一步第三步判别在收敛区间(－R,R)内lim()nnRx是否为骤如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式的函数展开0.;!)(0)(nxfann求第二步写出泰勒级数,并求出其收敛半径R;()000()()!nnnfxxxnlim()0nnRx若，()000()()().!nnnfxfxxxn则14例1.将函数展开成x的幂级数.解:,)()(xnexf),,1,0(1)0()(nfn1其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足e!)1(n1nxxe故231111,2!3!!xnexxxxnnRlim!1n!)1(1n(,)x(在0与x之间)x2!21x3!31xnxn!1故得级数()(0)!nnfan01!nnxn，0)!1(lim1nxnnlim()0.nnRx01,(,)!xnnexxn15例2.将展开成x的幂级数.解:)()(xfn)0()(nf得级数:x其收敛半径为,R对任何有限数x,其余项满足))1(sin(2n!)1(n1nx21nk),2,1,0(k3!31x5!51x211(21)!(1)nnnx(,)xsinxn2nk(1),k,035211113!5!(21)!(1)nnnxxxx()0(0)!nnnfxn2101(21)!sin(1),(,)nnnnxxx16常用函数的幂级数展开式（要求牢记！）(3)ln(1)x1(1)1x(4)xe(5)sinx(6)cosx1(2)1x2301,(1,1)nnxxxxx2301(1),(1,1)nnnxxxxx23411(1),(1,1]234nnnxxxxxxn2301!1,(,)2!3!nnnxxxxx352101(21)!(1),(,)3!5!nnnnxxxxx24201(2)!1(1),(,)2!4!nnnnxxxx172.间接展开法根据唯一性,利用已知的函数展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,函数已知展开式的新函数转化将所给函数展开成幂级数.例1.将函数展开成x的幂级数.解:把x换成2x20(1)nnnx(11).x,得23011(1),1nnnxxxxx(1,1)x18解2031,(,)!12!3!xnnexxxnxx思考：例2xexf2)(将展开成x的幂级数.将-2x代入上式中x的位置，即得xexxf25)(将展开成x的幂级数.),(,)2(!102xxnennxnnxxnxex)2(!10525，50)2(!1nnnxn),(x()2xfx将展开成x的幂级数.ln2()xfxe01()(ln2),(,)!nnfxxxn0(ln2)(),(,)!nnnfxxxn19解)3)(2(1)(xxxf，xx312111x1211122xx，0)2(21nnx302(1,1)1nnxxxxx，)2,2(x例3651)(2xxxf将展开成x的幂级数.3113131xx，0)3(31nnx)3,3(x)1,1(2x)1,1(3x)(xf0)2(21nnx01()33nnx(2,2);x.)3121(011nnnnx20例4.将展成解:sinsin()44xxsincos()cossin()4444xx1cos()sin()442xx的幂级数.201(2)!(1)()4nnnnx2101(21)!(1)()4nnnnx231111()()()42!43!42xxx21例5处展开成泰勒级数在将141)(xxxxf解).1()1()(nfx并求的幂级数展开成)1(3141xx)311(31xnnx)31(31031xxxxx41)1(411103)1(nnnx31x!)1()(nfn于是.3!)1()(nnnf故,31n013)1(nnnxnnx31)1(的系数为22例6.将在x=0处展为幂级数.解:)1ln(x)32)(1(322xxxx1nnnx)11(x)1ln(23xnnnxn)(23)1(11)(3232x因此2ln)(xf1nnnxnnnxn)()1(2311ln(1)x11(1),(1,1]nnnxxnnnnxn])(1[12ln231)(3232x23例7.将下列函数展开成x的幂级数解:20(1),nnnx(1,1)x200(1)dxnnnxx210(1)21nnnxnx＝±1时,此级数条件收敛,(0),4f210(1)(),421nnnfxxn[1,1]x因此11x0(1,1)nnxx，0()(0)()dxfxffxx(1,1)x24注意：把函数展开为幂级数的间接展开法实际上就是转化函数展开式已知的新函数转化经验：1)有理函数转化1111xx或2)指数函数转化xe3)对数函数转化ln(1)x4)三角函数转化sincosxx或5)反三角函数：先求导化为有理函数，再积分0()(0)()dxfxffxx0()(()d)xfxfxx25内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;2.常用函数的幂级数展开式10(1)ln(1),(1,1]1nnnxxxn01,(1,1)1nnxxx01,(,)!xnnexxn2101(21)!sin(1),(,)nnnnxxx201(2)!cos(1),(,)nnnnxxx01(1),(1,1)1nnnxxx下节课默写！