[原创]2012年《高考风向标》高考文科数学一轮复习 第七章 第1讲 正弦定理和余弦定理 [配套课件

第七章解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测Z量和几何计算有关的实际问题．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．＝2R(R为△ABC的外接圆半径)第1讲正弦定理和余弦定理1．正弦定理：___________________________________________．asinA＝bsinB＝csinC2．余弦定理：______________________________________.c2＝a2＋b2－2abcosC或cosC＝a2＋b2－c22ab3．已知三角形的内角分别是A、B、C，命题AB⇔sinAsinB的依据是________________________．4．已知三角形的内角分别是A、B、C，命题AB⇔cosAcosB的依据是____________________________．余弦函数在[0，π]上是减函数大边对大角和正弦定理BA．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件1．在△ABC中，“A＞π6”是“sinA＞12”的()2．图7－1－1所示某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，)A∠CBA＝45°，且AB＝200米．则A、C两点的距离为(图7－1－1A.20063米B．1006米C.10063米D．2002米3．在△ABC中，三边a、b、c之比为3∶5∶7，则这个三角形的最大的角为______.120°4．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2＋bc＝ac，则∠A的大小为________.60°解析：∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac.∵cosA＝b2＋c2－a22bc＝ac＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，∴∠A＝60°.5．锐角三角形的内角分别是A、B、C，并且AB.下面三个不等式成立的是_________.①②③①sinAsinB；②cosAcosB；③sinA＋sinBcosA＋cosB.解析：AB⇔ab⇔sinAsinB，故①成立．函数y＝cosx在区间[0，π]上是减函数，∵AB，∴cosAcosB.故②成立．在锐角三角形中A＋Bπ2，则有Aπ2－B，∴sinAsinπ2－B，即sinAcosB，同理sinBcosA，故③成立．考点1正弦定理、余弦定理的应用(1)求b的值；(2)求sinC的值．例1：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝2，c＝3，cosB＝14.解题思路：两边夹角问题使用余弦定理．解析：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝22＋32－2×2×3×14＝10，∴b＝10.(2)方法一：由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝4＋10－92×2×10＝108，∵C是△ABC的内角，∴sinC＝1－cos2C＝368.三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理是解三角形的常用工具．方法二：∵cosB＝14，且B是△ABC的内角，∴sinB＝1－cos2B＝154.根据正弦定理bsinB＝csinC得sinC＝csinBb＝3×15410＝368.【互动探究】1．在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，求A、C及边c.解：由正弦定理，sinA＝asinBb＝32∵B＝45°＜90°，b＜a，∴A＝60°或120°.①当A＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝75°，c＝bsinCsinB＝2sin75°sin45°＝6＋22；②当A＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝15°.c＝bsinCsinB＝2sin150°sin45°＝6－22.＝考点2判断三角形的形状例2在：ABC中，a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．解题思路：从边角统一入手．解析：原式可化为a2sinBb2sinAcosBcosA，∵a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AsinBcosB＝sin2BsinA.cosA∵sinA≠0，sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴0°A180°，0°B180°，∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，∴A＝B或A＋B＝90°，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．本题主要考查运用正弦定理与余弦定理来判断三角形的形状．常见思路是利用正弦定理化边为角，再进行三角恒等变形，或利用正弦定理与余弦定理化角为边，再进行代数恒等变形．【互动探究】2．在△ABC中，sinA＝sinB＋sinCcosB＋cosC，试判断这个三角形的形状．解：应用正弦定理、余弦定理，可得a＝b＋cc2＋a2－b22ca＋a2＋b2－c22ab，所以b(a2－b2)＋c(a2－c2)＝bc(b＋c)．所以(b＋c)a2＝(b3＋c3)＋bc(b＋c)．所以a2＝b2－bc＋c2＋bc.所以a2＝b2＋c2.所以△ABC是直角三角形．错源：对三角形中内角所受到的限制不清楚(1)求函数y＝f(x)的解析式和定义域；(2)求函数y＝f(x)值域．例3：在锐角三角形ABC中，已知内角A＝π3，边BC＝23.设内角B＝x，周长为y.误解分析：锐角三角形ABC中，B＋C＝2π3，故∠B将受到双重限制，即0Bπ2，0Cπ2，不少同学很容易忽略角C的限制，得到函数y＝f(x)的定义域为0，π2，将直接导致函数的值域出错．正解：(1)△ABC的内角和A＋B＋C＝π，由A＝π3得C＝2π3－B.∵0Bπ2，0Cπ2，∴0xπ2，02π3－xπ2，解出π6xπ2.即函数y＝f(x)的定义域为π6，π2.由正弦定理知AC＝BCsinAsinB＝23sinπ3sinx＝4sinx，AB＝BCsinAsinC＝4sin2π3－x.∵y＝AB＋BC＋AC，∴y＝4sinx＋4sin2π3－x＋23π6xπ2.(2)y＝4sinx＋32cosx＋12sinx＋23＝43sinx＋π6＋23，∵π3x＋π62π3，∴sinx＋π6∈32，1，故函数y＝f(x)的值域为(6＋23，63]．【互动探究】3．在△ABC中，AB＝1，BC＝2，求角C的取值范围．解：设BC＝a，CA＝b，AB＝c，则cosC＝a2＋b2－c22ab＝22＋b2－122·2·b＝b2＋34b＝14b＋3b≥14·2b·3b＝32，当且仅当b＝3b，即b＝3时，等号成立．∵y＝cosx在区间(0，π)内是减函数，∴0c≤π6，角C的取值范围是0，π6.例4：(2010年安徽)△ABC的面积是30，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，cosA＝1213.(1)求AB→·AC→；(2)若c－b＝1，求a的值．解题思路：根据同角三角函数关系，由cosA＝1213得sinA的值，再根据△ABC面积公式得bc＝156，直接求数量积AB→·AC→.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，代入已知条件c－b＝1及bc＝156，可求a的值．解析：(1)由cosA＝1213，得sinA＝1－12132＝513.又12bcsinA＝30，∴bc＝156.AB→·AC→＝bccosA＝156×1213＝144.(2)a2＝b2＋c2－2bccosA＝(c－b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2·156·1－1213＝25，∴a＝5.【互动探究】2120°4．椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为_______．解析：∵a2＝9，b2＝2，∴c＝a2－b2＝9－2＝7，∴|F1F2|＝27，又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝2，由余弦定理得cos∠F1PF2＝22＋42－2722×2×4＝－12，∴∠F1PF2＝120°.处理三角形的边角关系，主要有两种途径：①化边为角——用正弦定理；②化角为边——用余弦定理．