2.推理与证明复习小结

第二章推理与证明复习小结推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明数学归纳法间接证明比较法类比推理归纳推理分析法综合法反证法知识结构一.合情推理与演绎推理•①归纳是由特殊到一般的推理;②类比是由特殊到特殊的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理.•从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确(前提为真).•“完全归纳推理”与“归纳推理”的区别3.方法一：累差叠加法4.bc+caca+abab+bc=++222222abc+abc+abc=a+b+c.法1:∵a、b、c不相等正，且abc=1，111∴++=bc+ca+ababc证为数例.已知a、b、c不相等正，且abc=1，111求：a+b+c++.abc为数证.111∴a+b+c++成立abc二.综合法111111+++bccaab++222111=++.abc法2:∵a、b、c不相等正，且abc=1，111∴a+b+c=++bccaab证为数.111∴a+b+c++成立abc例.已知a、b、c不相等正，且abc=1，111求：a+b+c++.abc为数证：例已知a5，求：a-5-a-3a-2-a.证•证明:•要证•只需证•只需证•只需证•只需证•因为成立.•所以成立.a-5-a-3a-2-aa-5aa-2+a-3a(a-5)(a-2)(a-3)a(a-5)(a-2)(a-3)0606a-5-a-3a-2-a三.分析法适用范围1.唯一性问题2.命题中涉及量词的问题3.结论否定型问题4.难以判断、计算、或证明的问题四:反证法练习1.例2．证明不是有理数。2证明：假定是有理数，则可设,其中p，q为互质的正整数，22pq2q2=p2，①①式表明p2是偶数，所以p也是偶数，于是令p=2l，l是正整数，代入①式，得q2=2l2，②这样p，q都有公因数2，这与p，q互质矛盾，因此是有理数不成立，于是是无理数.22例3、设0a,b,c1，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于41证明：假设(1a)b,(1b)c,(1c)a,141414则三式相乘：(1a)b•(1b)c•(1c)a①164又∵0a,b,c1所以2(1)10(1)24aaaa同理：1(1)4bb1(1)4cc以上三式相乘：(1a)a•(1b)b•(1c)c≤与①矛盾164∴原式成立。五.数学归纳法1.证明“恒等式”2.证明“几何问题”3.证明“不等式”4.证明“整除问题”5.证明“猜想类问题”例1．用数学归纳法证明：21427310(31)(1)nnnn证明：（1）当n=1时，左边=4，右边=4，因为左边=右边，所以等式是成立的；（2）假设当n=k时，等式成立，即21427310(31)(1)kkkk21427310(31)(1)[3(1)1](1)(1)(34)kkkkkkkk22(1)(34)(1)(2)kkkkkk这就是说，当n=k+1时，等式也成立，由（1）和（2）可以断定，等式对任何n∈N+都成立。例2.求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3•…•(2n-1)证明：①n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等式成立。②假设当n=k((k∈N）时有：(k+1)(k+2)…(k+k)=2k•1•3•…•(2n-1),当n=k+1时：左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)•=2k•1•3•…•(2k-1)(2k+1)•2=2k+1•1•3•…•(2k-1)•[2(k+1)-1]=右边，∴当n=k+1时等式也成立。由①、②可知，对一切n∈N,原等式均成立。（2k+1)(2k+2)k+1例3:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又f(2)=2•(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立.(2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2.以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2.另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个交点也两两不相同.从而平面内交点的个数是k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2=(k+1)[(k+1)-1]/2.这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为:f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2.根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都成立.说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论:(1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线,---则:f(n)=n2.(2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线------的条数f(n+1)=f(n)+_________.n-1练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成f(k+1)=f(k)+__________个区域.2k例4．求证：对于任意的自然数n，代数式11n+1+122n-1能被133整除.证明：(1)n=1时，112+12=133能被133整除；(2)假设n=k时11k+1+122k-1能被133整除则当n=k+1时，11k+2+122k+1=由（1）、（2）可知…能被133整除．11k+1×11+11×122k-1-11×122k-1+122k+1=11(假设)+122k-1(122-11)……nnnnn123n例：在各项为正的数列{a}中，数列的前n项11和s满足s=(a+)2a（1）求a、a、a；（2）由（1）猜想到数列{a}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想。六.归纳、类比、猜想、证明例：有下列各式：11,2111++1,2311111131++++++,234567211111111++++++++223456715你能得到怎样的一般不等式，并加以证明。3.是否存在实数a,b,c，使得等式对一切自然数n都成立？并证明你的结论。a=3,b=11,c=10cbnannnnn222221211433221考试热点•数列{an}中，sn=2n-an①计算a1，a2，a3，a4，并猜想an；②用数学归纳法证明你的猜想。815,47,23,11212nnnakkkkkakakssa212111kkaa121121221121kkkkaa