28.1锐角三角函数

ABC┌如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，角：∠A+∠B＝90°边：AC2+BC2=AB2勾股定理在直角三角形中，边与角之间有什么关系呢？问题1为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.ABC思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？情境探究根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即ABC在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长..21ABBC斜边的对边A可得AB=2BC=70m，即需要准备70m长的水管。在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于。21ABC50m30mB'C'即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于。22如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，你能得出什么结论？ABBCABC综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？21当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；22当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值.探究ABCA'B'C'任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A‘＝，那么与有什么关系．你能解释一下吗？ABBC''''BACB由于∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A’＝所以Rt△ABC∽Rt△A’B’C’,''''BAABCBBC.''C'B'ABBABC即这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．探究如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即caAA斜边的对边sin例如，当∠A＝30°时，我们有2130sinsinA当∠A＝45°时，我们有2245sinsinAABCcab对边斜边在图中∠A的对边记作a∠B的对边记作b∠C的对边记作c正弦注意sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”；sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比；sinA不表示“sin”乘以“A”。例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．ABC34例题示范ABC135(1)(2).54sin53sin5.34BCACABABCR12222ABACBABBCAt，因此中，），在解：如图（试着完成图（2）求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比练习2254AC35B2、在平面直角平面坐标系中，已知点A(3，0)和B(0，-4)，则sin∠OAB等于____.3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，AC=2，BC=4，则sin∠DAC=___.4、在Rt△ABC中,∠C=90°,,则sin∠A=___.33ba1、如图，求sinA和sinB的值．5.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA的（）．A．151115...15434BCDBAＣB7.如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB=，BC的长是．536.若sin（65°-∠A)=,则∠A=2220°8O8、如图2：P是平面直角坐标系上的一点，且点P的坐标为（3,4），则sin=P(3,4)54xAy9、如图，在△ABC中，AB=CB=5，sinA=，求△ABC的面积。54BAC5510.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值（）A.扩大100倍B.缩小C.不变D.不能确定C1100练一练11.ACB37300则sinA=______.121222231.正弦的定义:3.sinA是∠A的函数.ABC∠A的对边┌斜边斜边∠A的对边sinA=2.Sin30°=sin45°=回味无穷sin60°=4.sinA是线段之间的一个比值，sinA没有单位0sinA128.1锐角三角函数（2）——余弦正切1、sinA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角.2、sinA是一个比值（数值）.3、sinA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，123sin30,sin45,sin60222特殊角的正弦函数值正弦caAsinA斜边的对边复习与探究：1.锐角正弦的定义在中，RtABCC90ABCabc∠A的正弦：caABBC斜边A的对边sinA2、当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定？为什么？新知探索:ABCabc1、你能将“其他边之比”用比例的式子表示出来吗？这样的比有多少？cbba2、当锐角A确定时，∠A的邻边与斜边的比，∠A的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并说出理由。方法一：从特殊到一般，仿照正弦的研究过程；方法二：根据相似三角形的性质来说明。如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cbAA斜边的邻边cosABC斜边c对边a邻边b★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即baAAA的邻边的对边tan注意cosA，tanA是一个完整的符号，它表示∠A的余弦、正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；cosA，tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比；cosA不表示“cos”乘以“A”，tanA不表示“tan”乘以“A”对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数。同样地，cosA，tanA也是A的函数。cbAA斜边的邻边cosbaAAA的邻边的对边tancaAA斜边的对边sin锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.ABC6.34tan54cos,8610.10356sinsin2222BCACBABACABCABACABCABABBCA，又，解：例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=6，，求cosA和tanB的值．53sinA例2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值．.25tan32cos35sin.55252tan35cos32sin,5232222BCACBABBCBABACBACBCAABACAABBCABCABACABCRt，，，，中，解：在ABC23延伸：由上面的计算，你能猜想∠A，∠B的正弦、余弦值有什么规律吗？结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的余弦等于它余角的正弦。sinA=cos(90°—A),cosA=sin(90°—A),tanA·tan(90°—A)=1练习补充练习1、在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.ABCD补充练习2、如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC=12，AB=13，∠BCM=∠BAC，求sin∠BAC和点B到直线MC的距离．MCBA3、如图所示，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：.2BDABBCDCBA1、如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍,tanA的值（）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定ABCC2、下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A和∠B的对边、邻边.ABCD  CD1tanAAC()()CD2tanBBC()BCACBDAD1.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为()A.2B．C．D．【解析】选B.根据正切的函数定义，角A的正切应是它的对边与邻边的比，所以B是正确，A是∠B的正切；C和D都错．5555212454334A.B.C.D.3455BBAEDC30°533353A.()mB.(53)mC.mD.4m3223A2.在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝则tanB＝（）3.如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）5454.B43.C55.DB53.A4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=则cosB的值等于（）5.如图，为了测量河两岸A.B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC＝a，∠ACB＝α，那么AB等于（）A.a·sinαB.a·tanαC.a·cosαD.tanaACABABCaα【解析】选B.在Rt△ABC中，tanα=所以AB=a·tanα【规律方法】1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形)；2.sinA,cosA是一个完整的符号,表示∠A的正弦、余弦,习惯省去“∠”符号；3.sinA,cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.在Rt△ABC中AasinAAc的对边的斜边AbcosAAc的的邻边的的斜边AatanAAb的的对边的的邻边28.1锐角三角函数（3）rldmm8989889ABC∠A的对边a∠A的邻边b斜边ccaABBC斜边A的对边sinAcbABAC斜边A的邻边cosAbaACBC边边A的tanA邻对rldmm8989889请同学们拿出自己的学习工具——一副三角尺，思考并回答下列问题：1、这两块三角尺各有几个锐角？它们分别等于多少度？2、每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系？如果设每块三角尺较短的边长为1，请你说出未知边的长度。30°60°45°12311245°新知探索:30°角的三角函数值123sin30°=21斜边A的对边cos30°=23斜边A的邻边tan30°=33A的邻边A的对边30.0CBArldmm898988945.0CAB112cos45°=tan45°=sin45°=22斜边A的对边22斜边A的邻边1A的邻边A的对边新知探索:45°角的三角函数值60.0BAC123sin60°=23斜边A的对边cos60°=21斜边A的邻边tan60°=3A的邻边A的对边新知探索:60°角的三角函数值30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角a三角函数30°45°60°sinacosatana1222322212332331例1求下列各式的值：（1）cos260°＋sin260°（2）45tan45sin45cos).60(sin)60(sin60sin60sin22即，）表示（22)23()21(解：原式112222解：原式0；）（30cos30sin211；）（60sin245tan30tan32；）（30tan160sin160cos3求下列各式的值：.21160cos2145sin2402005）（）（）（例2（1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，求∠A的度数．3,6BCABABC36,2263sinABBCA解.45A（