【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)课件：第4章 第7节 正弦定理、余弦定理的应用举例

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·高考总复习走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形三角函数、三角恒等变形、解三角形第四章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形第七节正弦定理、余弦定理的应用举例第四章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形课前自主导学2课时作业4高考目标导航1课堂典例讲练3走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形高考目标导航走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形考纲要求命题分析能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.高考对正弦定理和余弦定理在实际中的应用的考查，其常规考法为：依据实际问题背景，直接给出测量数据，通过考生作图分析，然后选用恰当的公式直接计算．预测2016年以实际问题为背景构建三角形解决问题是一个可能的发展方向.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形课前自主导学走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形1.仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_________叫仰角，目标视线在水平视线__________叫俯角(如图①)．上方的角下方的角走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形2．方位角指从____方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③)①北偏东α°：指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.③其他方向角类似．正北走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形4．坡度与坡比坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形1.(教材改编题)在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC＝()A．10°B．50°C．120°D．130°[答案]D[解析]如图，由已知∠BAD＝60°，∠CAD＝70°，∴∠BAC＝60°＋70°＝130°.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形2．若点A在点B的北偏西30°，则B点在A点的()A．西偏北30°B．西偏北60°C．南偏东30°D．东偏南30°[答案]C[解析]如图可知B在A的南偏东30°.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形3．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为()A．502mB．503mC．252mD．2522m[答案]A走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[解析]由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理ACsin∠ABC＝ABsin∠ACB，∴AB＝AC·sin∠ACBsin∠ABC＝50×2212＝502(m)．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形4．(教材改编题)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A．1B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°[答案]C[解析]如图，∵∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.在△ABD中，由正弦定理ADsin160°＝ABsin10°，∴AD＝AB·sin160°sin10°＝sin20°sin10°＝2cos10°.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形5．2014年9月16日，台风“海鸥”即将登陆海南文昌，如图，位于港口O正东方向20海里的B处的渔船回港避风时出现故障．位于港口南偏西30°方向，距港口10海里的C处的拖轮接到海事部门营救信息后以30海里/小时的速度沿直线CB去营救渔船，则拖轮到B处需要________小时．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[分析]求解本题的关键是把实际应用问题转化为数学问题，然后再利用余弦定理解决．[答案]73[解析]由题易知，∠BOC＝120°，因为BC2＝OC2＋OB2－2·OC·OB·cos120°＝700，所以BC＝107，所以拖轮到达B处需要的时间t＝10730＝73(小时)．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形6．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．[答案]56[解析]由正弦定理，知BCsin60°＝ABsin180°－60°－75°.解得BC＝56(海里)．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形课堂典例讲练走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形如图所示，为了测量对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．[思路分析]在△BCD中，求出BC，在△ABC中，求出AB．测量距离问题走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[规范解答]在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝A．∵∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∴∠CBD＝45°在△BCD中，由正弦定理可得BC＝asin105°sin45°＝3＋12A．在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos30°＝22A．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[方法总结]求距离问题一般要注意：(1)基线的选取要准确恰当(在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫作基线，如例题中的CD)．(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货轮的速度为30nmile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时，求A、D两处的距离．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[解析]如图所示，在△ABC中，∠CAB＝45°，∠ABC＝90°＋30°＝120°，∴∠ACB＝180°－45°－120°＝15°，AB＝30×0.5＝15(nmile)．则由正弦定理，得ACsin∠ABC＝ABsin∠ACB，即ACsin120°＝15sin15°.又∵sin15°＝6－24，sin120°＝32，走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形∴AC＝15sin120°sin15°＝32＋62×15(nmile)．在△ACD中，∵∠A＝∠D＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AD＝2AC＝15(3＋3)(nmile)，∴A、D两处的距离为15(3＋3)nmile.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40m以后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．测量高度问题[思路分析]从C到D所测塔的仰角最大的，只有B到CD最短时，仰角才最大，这时因为tan∠AEB＝ABBE，AB为定值，要求出塔高AB，必须先求BE，而要求BE，须先求BD(或BC)．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[规范解答]依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40m，此时∠DBF＝45°，在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理得，CDsin∠DBC＝BDsin∠BCD，∴BD＝40sin30°sin135°＝202.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形在Rt△BED中，作BE⊥DC于E.∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.∴BE＝BDsin15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，∴AB＝BEtan30°＝103(3－3)(m)．故所求的塔高为103(3－3)m.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[方法总结](1)处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．提醒：高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20m，求山高CD．[分析]过点C作CE∥DB，延长BA，交CE于点E，在△AEC中建立关系．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[解析]如图，设CD＝xm，则AE＝x－20m，tan60°＝CDBD，∴BD＝CDtan60°＝x3＝33x(m)．在△AEC中，x－20＝33x，解得x＝10(3＋3)m.故山高CD为10(3＋3)m.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形测量角度问题沿一条小路前进，从A到B，方位角(从正北方向顺时针转到AB方向所成的角)是50°，距离是3km，从B到C，方位角是110°，距离是3km，从C到D，方位角是140°，距离是(9＋33)km.试画出示意图，并计算出从A到D的方位角和距离(结果保留根号)．[思路分析]画出示意图，要求A到D的方位角，需要构造三角形，连接AC，在△ABC中，可知∠BAC＝30°，用余弦定理求出AC，再在△ACD中，求出AD和∠CAD．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[规范解答]如图，连接AC，在△ABC中，∠ABC＝50°＋(180°－110°)＝120°，又AB＝BC＝3，∴∠BAC＝∠BCA＝30°.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形由余弦定理可得AC＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝9＋9－2×3×3×－12＝27＝33(km)．在△ACD中，∠ACD＝360°－140°－(70°＋30°)＝120°，CD＝33＋9.由余弦定理得AD＝AC2＋CD2－2AC·CDcos120°＝27＋33＋92－2×33×33＋9×－12＝92＋962(km)．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形由正弦定理得sin∠CAD＝CD·sin∠ACDAD＝33＋9×3292＋962＝22.∴∠CAD＝45°，于是AD