中值公式的证明

数学分析选讲多媒体教学课件0().f微分中值定理与中值公式的证明罗尔定理：若函数f(x)满足:(1)在[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b).则至少存在一点(a,b),使数学分析选讲多媒体教学课件0().f定理：若函数f(x)满足:(1)在开区间(a,b)内连续且可导;(2)f(a+0)=f(b-0).则至少存在一点(a,b),使数学分析选讲多媒体教学课件()0.F证明:情形1:a,b都是有限实数,且f(a+0),f(b-0)也由洛尔定理,至少存在一点(a,b),使是有限实数.令00(),(,)()(),(),fxxabFxfaxafbxb(a,b),时,()()0.Ff则F(x)在[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导;F(a)=F(b),但数学分析选讲多媒体教学课件00()()().fafb情形2:a,b都是有限实数,但令()tan(),Fxfx令则F(x)满足情形1的所有条件,因此存在(a,b),使201()(),()fFf即0().f情形3:a是有限实数,b=+,f(a+0),f(b-0)是有限实数.令()(tan),Ftft可以证明.数学分析选讲多媒体教学课件情形4:a=-,b=+,f(a+0),f(b-0)是有限实数.令()(tan),Ftft可以证明.情形6:a=-,b=+,f(a+0),f(b-0)=+(-)类似于情形5.情形5:a是有限实数,b=+,f(a+0),f(b-0)=+时,f(x)有最小值.f(a+0),f(b-0)=-时,f(x)有最大值.数学分析选讲多媒体教学课件()()().fbfafba．拉格朗日定理：若函数f(x)满足:(1)在[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;则至少存在一点(a,b)使数学分析选讲多媒体教学课件()()()().fxfyfxy()()().fxxfxfxxx注1如果函数f(x)在(a,b)内可导,则对任意x,y(a,b),存在(在x与y之间)使注2对x,x+x(a,b),存在(01),使数学分析选讲多媒体教学课件注3拉格朗日定理有明显的几何意义.如果函数f(x)在(a,b)内可导,则对任意x,x(a,b),存在使曲线y=f(x)在点C(,f())处的切线平行于连结A(x,f(x))AxyOabBCxxB(x,f(x))的弦.数学分析选讲多媒体教学课件()()().()()()fbfafgbgag柯西定理：若f(x)与g(x)满足:(1)在[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,(3)对任意x(a,b),g(x)0,则至少存在一点(a,b),使数学分析选讲多媒体教学课件000()()()()().!knknkfxfxxxRxk1101()()()(),()!nnnfRxxxn泰勒定理：若函数f(x)在x=x0的某邻域内有n+1阶导数则其中在x与x0中间.数学分析选讲多媒体教学课件0000()()()()(()).!knknkfxfxxxoxxk定理：若函数f(x)在x=x0的某邻域内有n阶阶导数,则特别地,当x0=0时00()()()().!knknkffxxoxk数学分析选讲多媒体教学课件2.中值公式的证明(1)与洛尔定理有关的问题()()(),gxFxfxe例1假设f(x)和g(x)都是可导函数,试证:在f(x)的任意两个零点之间必定有函数f(x)g(x)+f(x)的零点.证：作辅助函数并设x1,x2是f(x)的任意两个零点,且x1x2则易知0().F在[x1,x2]上满足罗尔定理的条件,故至少存在一点(a,b),使但()()(),gxFxfxe数学分析选讲多媒体教学课件0()()(()()()).gFefgf0(),ge0(()()()).fgf()()()fxgxfx而所以即在f(x)的任意两个零点x1,x2之间有的零点.()()kfxfx注1取定g(x)可以得到许多类似的命题.如f(x)的任意两个零点之间必有函数的零点.数学分析选讲多媒体教学课件0()().ff1()xx()(),Fxxfx例2设f(x)在[0,1]上可导,f(0)=f(1)=0,试证存在(0,1)使得证：由于其中1为常数.所以令在[0,1]上对用罗尔定理可得到证明．0yxy注：解微分方程可得到辅助通解为.xyC那么就作辅助函数这是中值公式证明过程构造辅助函数的常用方法.()(),Fxxfx()(),Fxxfx数学分析选讲多媒体教学课件0()().ff例3设f(x)在[a,b]上可导,f(a)=f(b)=0,(0ab),试证存在其中1为常数.(a,b),使得证:设()(),Fxxfx则F(x)在[a,b]上可导,且F(a)=F(b)=0,洛尔定理,存在(a,b),使得F()=0.而1()()(),afxxfxFxx故由F()=0,推出0()().ff数学分析选讲多媒体教学课件1().f1111()()0.2222Ff例5设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证:至少存在一点(0,1)使112(,),0().F001(,)(,),由连续函数的介值定理,存在使由罗尔定理,至少存在一点证：令F(x)=f(x)-x,则F(0)=0,F(1)=f(1)-1=0-1=-10,1().f使数学分析选讲多媒体教学课件211()().()()ffff2()()(1),Fxfxfx例6设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,当x(0,1)时,f(x)0,试证存在一点(0,1)使证明:令则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且F(0)=F(1)=0,由罗尔定理至少存在一点0().F(0,1)使即21210()()()()().Fffff数学分析选讲多媒体教学课件211()().()()ffff亦即211()()()()ffff211()()()()fxfxfxfx()(1)2()(1)0fxfxfxfx2[()(1)]0.fxfx注1构造辅助函数的思考方法是由数学分析选讲多媒体教学课件12012()().fxfxdx()().ff例7设f(x)在[0,1]上可导,且满足证明：至少存在一点(0,1),使得证：令F(x)=xf(x),则F(x)在[0,1]上可导,由及积分中值定理,存在1(0,)212012()()(),fxfxdxf11112()()(),()(),().FffFf于是有12012()().fxfxdx使数学分析选讲多媒体教学课件0(),F0()(),ff()().ff即亦即()()ff1()()()()fxfxfxxfxxln()lnln()()cfxxcfxxfxcx()().Fxxfx．注：用x代替,结论为从而得辅助函数(,1)(0,1)由罗尔定理，存在使数学分析选讲多媒体教学课件()().()()ffgg例8设f(x),g(x)在[a,b]上二次可导,且g(x)0,f(a)=f(b)=0,g(a)=g(b)=0,试证:(1)在(a,b)内g(x)0;(2)在(a,b)内至少存在一点,使证:(1)(用反证明法)若存在一点c(a,b)使g(c)=0,则在[a,c]和[c,b]上用洛尔定理,存在1(a,c),2(c,b),使1200(),(),gg再在[1,2]上对g(x)用洛尔定理,存在3(1,2),使数学分析选讲多媒体教学课件30(),g这与已知条件矛盾,在(a,b)内g(x)0.(2)令()()()()(),xfxgxfxgx易知(x)在[a,b]上满足洛尔定理的条件,因此存在(a,b),使()=0,即0()()()()().fgfg因为g()0,g()0,所以()().()()ffgg数学分析选讲多媒体教学课件21()().ff例9设f(x)在[0,1]上二次可导,且f(0)=f(1)=0,证明至少存在一点(0,1),使得证2121()()()()()ffff120()()()ff10(()()())ff10(()()).f数学分析选讲多媒体教学课件因此令F(x)=f(x)(1-x),则F(x)在[0,1]上满足洛尔定理的条件故存在1(0,1),使F(1)=0,但110()()()(),(),FxfxxfxF所以在(1,1)上对F(x)用洛尔定理,存在(1,1),使F()=0,120()()().ff即亦即21()().ff数学分析选讲多媒体教学课件()()().()()()ffafgbgg例10设f(x),g(x),在[a,b]上可导,且g(x)0,证明至少存在一点(a,b),使数学分析选讲多媒体教学课件()()()()()()(),Fxfxgxfagxgbfx证明作函数则()()()(),FaFbgbfa由罗尔定理即可得.数学分析选讲多媒体教学课件2|()|,fx2|()||()|().fafbba0().f3拉格朗日中值公式的证明例10设在[a,b]上且f(x)在(a,b)内取得最大(小)值,试证：证：设f(x)在(a,b)内内的最大(小)值点为,则必为一个极值点，因此()fx对在区间[a,],[,b]上分别用拉格朗日定理有()()()()(),(,).faffafaa数学分析选讲多媒体教学课件()()()()(),(,).fbffbfbb|()||()||()||||()|||fafbfafb因此22222||||()()().ababba数学分析选讲多媒体教学课件()()|()|||.fbfafba例11设f(x)在[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,y=f(x)非直线.求证：存在(a,b)使()()()()()()fbfaFxfxfaxaba证：令则F(a)=F(b)=0,由于y=f(x)非直线,所以f(x)不是线性函数因此F(x)不恒为零,即存在c(a,b),使F(c)0(0),对F(x)在区间[a,c],[c,b]上应用拉格朗日定理,有数学分析选讲多媒体教学课件1100()()()()()()()()fbfaFcFaFcFfbacaca2200()()()()()()()()fbfaFbFcFcFfbabcbc0()()fbfaba1()()|()|||.fbfafba0()()fbfaba2,当,取有当时，取有()()|()|||.fbfafba数学分析选讲多媒体教