多面体与球的切接问题概要

多面体与球的切接问题基本知识回顾：一、球体的体积与表面积343VR球①24SR球面②二、球与多面体的接、切定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个。多面体的外接球多面体的内切球外接球球心到各顶点的距离相等(R)内切球球心到各面的距离相等(r)一、棱柱与球典例1：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.中截面球的外切正方体的棱长等于球直径。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O中截面正方形的对角线等于球的直径。.ABCDD1C1B1A1OA1AC1CO对角面2R球的内接正方体的对角线等于球直径。变题：已知长方体1111DCBAABCD的顶点都在半径为9的球O的球面上,那么长方体1111DCBAABCD的表面积的最大值等于_________。（2013长春一模）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面，已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为___________典例21.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，一球切于三棱柱的各侧面，一球过三棱柱的各顶点，则这两个球的表面积之比为________2.（2013太原一模）球O与底面边长为3的正三棱柱的各侧面均相切，则球O的表面积为________反馈训练1：小结1如何求直棱柱的外接球半径呢？（1）先找外接球的球心：它的球心是连接上下两个多边形的外心的线段的中点；（2）再构造直角三角形，勾股定理求解。二、棱锥与球典例1：正四面体ABCD的棱长为a，求其内切球半径r与外接球半径R.ABCDOABCDO正四面体外接球的半径正方体外接球的半径难点突破：如何求正四面体的外接球半径法1.补成正方体PABCMOPAMDEOD法2.勾股定理法难点突破：如何求正四面体的外接球半径OHPABCDM2lh2R法3.射影定理法难点突破：如何求正四面体的外接球半径正四棱锥S—ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为________．变题：1.法1.勾股定理法法2.射影定理法2.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=3侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为()2.A3.B4.C34.D变题：找三棱锥的外接球的球心（利用外接球球心到锥体各顶点距离相等的特性）可选择以下思路法1、观察法（适用于较简单的情况）（如以上例2）法2、可以找两条对棱中垂线的交点，即为三棱锥外接球球心。（如以上变式1）法3、可以找两组线面垂直，垂足为三角形的外心，两个垂线交点即为外接球球心典例2：（2013哈九中三模）已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把ACD折起，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积等于（）4.A8.B16.C24.D变题：1.（2013期末理）四面体ABCD的四个顶点在同一个球面上，AB=BC=CD=DA=3，AC=32,BD=6则该球的表面积为()14.A15.B16.C18.D变题：2.(2010·济宁模拟)三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥底面ABC，且PA=2，则此三棱锥外接球的表面积为___________典例3：已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，，，，，平面602132,BACACABSAABCSA则球O的表面积为（）4.A12.B16.C64.D变题：1.（2013郑州一模）已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足PA,PB,PC两两垂直，当ABPC取最大值时，三棱锥O-PAB(O为球心)的高为（）33.A22.B2.C32.D变题：2.（2013郑州质检）在三棱锥A-BCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5.则三棱锥的外接球的表面积为________求棱锥外接球半径常见的补形有：正四面体常补成正方体；三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体；三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体；侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱总结2.某几何体的三视图如图所示，若该几何体各顶点都在一球面上，则这个球的表面积为___________211反馈训练2：3.已知三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为3的球面上，若PA,PB,PC两两相互垂直,则球心到截面ABC的距离为______________反馈训练2：4.三棱锥S-ABC中，SACSAB,AB=AC,SA=SB=2，侧棱AS与底面ABC所成的角为60，经过S,A,B,C四点的球的球心在三棱锥内，求这个球的体积反馈训练2：【设计意图：巩固棱锥外接球半径的求法】小结2求棱锥外接球半径的方法：（1）补形法（适用特殊棱锥）（2）射影定理法（适用于侧棱相等即球心落在高线上的的棱锥）（3）勾股定理法（通法）关键是找球心，画出截面图，构造与R有关的直角三角形。