数值分析第四版第四章数值积分与数值微分

第四章数值积分与数值微分§1引言一、数值积分的必要性本章主要讨论如下形式的一元函数积分badxxffI)()(()()()()baIffxdxFbFa在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分要求函数的原函数☞有解析表达式；☞为初等函数．fxFxFxfx实际问题1.的原函数不能用初等函数表示建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.2sinfxx假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近似英寸为一个周期.求制做一块波纹瓦所需铝板的长度L.从到英寸间的弧长L.这个问题就是要求由函数给定的曲线,0x48xdxxdxxfL48024802')(cos1))((1由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:上述积分称为第二类椭圆积分。What’stheOriginalfunction?!It’ssocomplexthatwecannotgetit.类似的，下列函数也不存在由初等函数表示的原函数:2,1,ln1,sin,cos,sin322xexxxxxx2.有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示,但表达式相当复杂,计算极不方便.例如函数:3222xx并不复杂,但它的原函数却十分复杂:)322ln(21693216332412222xxxxxx3.没有解析表达式，只有数表形式:fxfxx1423454.5688.5原来通过原函数来计算积分有它的局限性。那……怎么办呢？呵呵…这就需要积分的数值方法来帮忙啦。二、数值积分的基本思想1、定积分的几何意义badxxffI)()(abxyofx2、数值积分的理论依据fx依据积分中值定理,对于连续函数,在内存在一点,使得,ab)()()()(fabdxxffIba称为在区间上的平均高度.f,ab?ffx3、求积公式的构造若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则可得一点求积公式如下：左矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：Iffaba2abIffbaIffbbaxyOabfxfa左矩形公式：IffabaxyOabfx2abf2ab中矩形公式：2abIffbaxyOabfxfb右矩形公式：Iffbba若取两点，并令，则可得梯形公式（两点求积公式）,ab2fafbf2fafbIfbaxyOabfxfafb则可得Simpson公式(三点求积公式),,2ababc46fafcfbf若取三点，并令46fafcfbIfba一般地，取区间内个点,ab1n,0,1,2,...,ixin,0,1,...,ifxinf处的高度通过加权平均的方法近似地得出平均高度这类求积方法称为机械求积:)()()(0ibaniixfabdxxf或写成:数值积分公式求积系数求积节点)()(0kbankkxfAdxxf记0()()nnkkkIfAfx0()()()()(),nbnkkakRfIfIffxdxAfx称为数值求积公式称为求积公式余项(误差).（1）（2）构造或确定一个求积公式，要解决的问题包括:(i)确定求积系数和求积节点kAkx；(iii)求积公式的误差估计和收敛性分析.(ii)确定衡量求积公式好坏的标准；称求积公式具有m次代数精度,如果它满足如下两个条件:定义4.1：0()()nnkkkIfAfx(i)对所有次数≤m次的多项式,有)(xPm0)()()(mnmmPIPIPR(ii)存在m+1次多项式,使得)(1xPm0)()()(111mnmmPIPIPR三、求积公式的代数精度上述定义中的条件(i),(ii)等价于:1()()0miiRx()()()()0,(0)kkkniRxIxIxkm注：梯形公式与中矩形公式都只具有1次代数精度。一般的，若要使求积公式（1）具有m次代数精度，则只要使求积公式对f(x)=1，x，x2，…,xm都准确成立，即02201101211nkknkkknmmmkkkAbaAxbaAxbam§2插值型求积公式一、定义在积分区间上，,ab取个节点1n,0,1,2,...,ixin作的次代数插值多项式（拉格朗日插值公式）:fxn0()()()nnkkkLxlxfx则有)()()(xRxLxfnn其中，)()!1()()(1)1(xwnfxRnnn为插值余项。10()()nnjjwxxx于是有：0()()()()()()bbbnnaaanbbjjnaajfxdxLxdxRxdxlxdxfxRxdx取0()()()nbbjjaajfxdxfxlxdxAj0()()nbijaijiijxxAdxxx由节点决定，与无关。fx二、截断误差与代数精度1、截断误差0(1)0()()()[()()]()()(1)!nbbkknaaknnbxkakRffxdxAfxfxLxdxfxxdxn2、代数精度0nkkAba0()nkkkAfx()bkkaAlxdx形如的求积公式至少有n次代数精度该公式为插值型（即：）定理4.1推论求积系数满足:kA§3Newton-Cotes公式一、Cotes系数取节点为等距分布：,,0,1,...,ibaxaihhinn由此构造的插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,此时求积系数：0()()nxjixjiijxxAdxxx令htax00()()(1)()()!()!ninnijjitjhbahdttjdtijhniniCotes系数()niC二、Newton-Cotes公式1、定义：记()00,(1)()!()!ninnnikkiCtkdtinin则()(),0,1,2,,niiAbaCin求积公式变为()0()()()nbniiaifxdxbaCfx称上式为n阶闭型Newton-Cotes求积公式。()00,(1)()!()!ninnnikkiCtkdtinin注意:由式确定的Cotes系数只与和有关,in与和积分区间fx,ab无关，且满足:()021nnikC1nniniCC2、截断误差Newton-Cotes公式的误差为:),(,)()()!1()()!1()()(00)1(21)1(badtjtfnhdxxwnffRnnjnnnban与x有关3、代数精度作为插值型求积公式，具有次代数精度，n阶Newton-Cotes公式至少n而实际的代数精度是否可以进一步提高呢？定理4.2当阶数为偶数时,nNewton-Cotes公式至少具有次代数精度。1n证明:只需验证当为偶数时,Newton-Cotes公式对的余项为零。n1nfxx由于,所以1nfxx11!nfxn即得nnjndtjthfR002)()(引进变换,因为为偶数,故为整数,2ntu2nn于是有2202)2()(nnnjndujnuhfR据此可断定,因为上述被积函数是个奇函数.0Rf4、数值稳定性现在讨论舍入误差对计算结果产生的影响.设用公式njjnjnxfCabfI0)()()()(近似计算积分badxxffI)()(时,其中计算函数值有误差则在的计算中,由引起的误差为jfx0,1,2,...jjn没有误差,中间计算过程中的舍入误差也不考虑,njC计算()nIfj，而njjnjnjjjnjnjjnjnCabxfCabxfCabe0)(0)(0)()())(()()()(如果都是正数,并设njC0max||jjn则有)(||)(||0)(abCabenjnjn故是有界的,nejba7nnnjC即由引起的误差受到控制,的倍,不超过保证了数值计算的稳定性。将出现负数,而当时,njnjC0)(||将随增大,因而不能保证数值稳定性.故高阶公式不宜采用,有实用价值的仅仅是几种低阶的求积公式.三、几种常用的低阶求积公式(1)(1)0111,22CCn=1:()[()()]2babafxdxfafb梯形公式()[]()()2!bxafRfxaxbdx/*令x=a+th,h=ba,用积分中值定理*/3()(),[,]12bafab代数精度=1n=2:(2)(2)(2)012121,,636CCC2()[()4()()]6bababafxdxfaffbSimpson公式代数精度=34(4)5(4)()[]()2()8180,802bababfaRff(,)ab其中，n=4:6(6)7(6)8[]()942()(95)4544baRffbabaf01234()[7()32()12()32()7()]90babafxdxfxfxfxfxfx代数精度=5,,,0,1,2,3,44kbaxakhhk这里Cotes公式(,)ab其中，四、复化求积公式高次插值有Runge现象，怎么办？可采用分段低次插值来解决高阶Newton-Cotes公式会出现数值不稳定。而低阶Newton-Cotes公式有时又不能满足精度要求，怎么办？可将积分区间分成若干小区间，在每个小区间上用低阶求积公式计算，然后求和。,ab复化梯形公式：,(0,...,)kbahxakhknn在每个上用梯形公式：1[,]kkxx111()[()()],0,...,12kkxkkkkxxxfxdxfxfxkn11()2()()2nkkhfafxfb110()[()()]2nbkkakhfxdxfxfx=Tn1321002()[][()]()1212()(),(,)12nknkkkfhhRffbanhbafab/*介值定理*/复化梯形公式的几何意义复化Simpson公式：),...,0(,nkhkaxnabhk)]()(4)([6)(1211kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21kx1kx44444110()()kknbxaxkfxdxfxdx=Sn44(4)(4)[]()(),(,)28801802babahRfhffab在每个上用simpson公式：1[,]kkxx121101()4()2()()6nnkkkkhfafxfxfb复化Simpson公式的几何意义复化Cotes公式：,(0,...,)kbahxakhknn)](7)(32)(12)(32)(7[90)(14321411kkkkkxxxfxfxfxfxfhdxxfkk101)](7)(32)(12)(32)(7[90)(432141nkkkkkkbaxfxfxfxfx