数值分析课件_高斯求积公式

§5Gauss求积公式/*GaussQuadratureFormula*/Newton—Cotes求积公式中的求积节点是等距选取的，求积系数计算方便，但代数精度要受到限制；0()()nnkkkIfAfx积分公式的一般形式：插值型的求积公式至少有n次代数精度，至多有多少次的代数精度？如何适当选取求积节点和求积系数，使求积公式达到最高的代数精度？一、Gauss积分问题的提法为了提高代数精度，需要适当选择求积节点:①当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选取，求积公式的代数精度最高能达到多少？②具有最高代数精度的求积公式中求积节点如何选取？0()()nnkkkIfAfx积分公式的一般形式：个求积节点，个求积系数，共个未知量，需要个方程，因此可以取使公式精确成立，从而求出求积节点和系数。,,,1)(12nxxxf1n1n22n22n21n只需证明：对于上述插值型求积公式，存在一个2n+2次多项式，使得求积公式不能精确成立。551..Th形如的插值型求积公式的代数精度最高不超过2n+1次。0()()nbkkakfxdxAfx证明：10()()nnkkxxx其中令21()()nfxx因为210()()bbnaafxdxxdx而00()nkkkAfx故求积公式不能精确成立。下面讨论一般积分形式：()()bafxxdx其中为权函数0()x构造积分公式（*）0()()()nbkkakfxxdxAfx具有2n+1次代数精度。其中011nnaxxxxb求积节点求积系数01,,,kAkn与被积函数无关0()()()nbbjkkaajkjjkxxAxlxdxxdxxx1Def如果一组节点，使得上述插值型求积公式具有2n+1次代数精度，则称该组节点为Gauss点，相应的公式为Gauss型求积公式。01,,,[,]nxxxab0()nbkakAxdx求积系数的特征：•五点的Gauss求积公式具有多少次代数精度？例1：构造下列积分的Gauss求积公式：100111()()()fxxdxAfxAfx例题：分析：因为n=1,所以Guass求积公式具有3次代数精度。分别取,得到关于的方程组，求解非线性方程组得到求积系数和求积节点。32,,,1)(xxxxf1010,,,xxAA00121(),,,nbjjkkakAxxxdxjn2n+2个未知数，2n+2个方程的非线性方程组由代数精度定义，当时，2211(),,,,nnfxxxx0()()nnkkkIfAfx求积公式精确成立：问题：如何计算Gauss点及求积系数？0nkkx0{}nkkA方法一：从代数精度的定义出发，求解非线性方程组；方法二：两步走()()bkkaAxlxdx问题：如何计算Gauss点及求积系数？0nkkx0{}nkkA0{}nkkx1.先确定Gauss求积节点0{}nkkA2.计算求积系数①从代数精度的定义出发，求解线性方程组；或②用系数的表达式直接计算。二、Gauss求积公式的性质Gauss求积公式存在的条件552..Th插值型求积公式（*）的节点0[,]nkkxab是Gauss点的充要条件是以这些节点为零点的多项式10()()nnkkxxx与任何不超过n次的多项式带权正交:()px10()()()bnapxxxdx证明：必要性设()npxH则121()()nnpxxH因为01,,,[,]nxxxab是Gauss点1()()()bnapxxxdx100()()nkknkkApxx充分性21()nfxH对于1()()()()nfxpxxqx其中,npqH1()()()()()()bbnaafxxdxpxxqxxdx()()baqxxdx0()nkkkAqx0()nkkkAfx即求积公式（*）对一切不超过2n+1次的多项式精确成立所以节点是Gauss点0[,]nkkxab上述定理表明：上带权的n+1次正交多项式的零点就是求积公式（*）的Gauss点[,]ab001(),,,nbjjkkakAxxxdxjnGauss求积公式中求积系数的求法由代数精度定义，得到n+1阶线性方程组：设已知Gauss点0[,]nkkxab或者0()()()nbbjkkaajkjjkxxAxlxdxxdxxxGauss求积公式的余项0[]()nnkkkRfIAfx222122()()()()()!nbnafxxdxn证明：2121012()(),,,,()()nkknkkHxfxknHxfx设是满足下列条件的Hermite插值21()nHx22221122()()()()()()!nnnffxHxxn0[]()nnkkkRfIAfx210()()()nbknkakfxxdxAHx21()()()()bbnaafxxdxHxxdx21()()()bnafxHxxdx222122()()()()()!nbnafxxdxn公式有2n+1次代数精度21()()nkkHxfx积分第一中值定理222122()()()()()!nbnafxxdxnGauss求积公式的稳定性553..ThGauss型求积公式（*）总是稳定的。证明：001,,,kAkn只需证明：因为Gauss型求积公式（*）对所有不超过2n+1次的多项式都精确成立：取2()()kfxlx()klx是n次的Lagrange插值基函数220()()()nbkjkjajlxxdxAlx0kA012,,,,kn0()nbkakAxdxGauss求积公式的收敛性554..Th则Gauss型求积公式（*）是收敛的。[,]fCab设证明：maxaxbfpfp由Weierstrass定理知对0存在m次多项式满足()px2()bafpxdx0()()()nbkkakfxxdxAfx下证,NnN当时00()()nnkkkkkkApxAfx0()()()nbkkakpxxdxApx()()()()bbaafxxdxpxxdx0()()()nbkkakfxxdxAfx22021mn三、Gauss求积公式的构造根据前面的讨论，只需要取n+1次正交多项式的n+1个零点为求积节点，构造的求积公式即为Gauss求积公式区间的转化问题任意区间经过下列变换可变为区间[,]ab11[,]1122()(),[,]babaxtt下面仅以Legendre多项式和Chebyshev多项式为例1n是首系数为的次正交多项式，权函数为2)!(2)!2(nnn1()x1()nPxLegendre正交多项式01()Px1211111101212()(),,,()!nnnnndPxxnndx1110()()nPxqxdx为不超过次的多项式()qxn1n1()nPx11[,]在有个不同的实零点，且关于原点对称1112112()()()()(),,,nnnnPxnxPxnPxn递推关系1()Pxx221312()()Pxx331532()()Pxxx110221()()ijijPxPxdxijj正交性1()()()nnPxPx奇偶性Gauss-Legendre求积公式110()()nkkkfxdxAfx1()x其中求积节点是n+1次Legendre多项式的零点0[,]nkkxab求积系数可通过求解方程组得到，或者利用下式110()()nikikiikxxAdxxx012,,,,kn时，零点，构造求积公式：0n1010()()fxdxAf1()Pxx00x求：0A令，代入公式精确成立，得到：1()fx02A10012()Alxdx或1120()()fxdxf一点Gauss-Legendre求积公式1次代数精度10111133()()()fxdxAfAf时，，零点构造求积公式：1n211312()()Pxx011133,xx求：01,AA令，代入公式精确成立，得到：1(),fxx011AA1100111111(),()AlxdxAlxdx或111133()()()fxdxff两点Gauss-Legendre求积公式3次代数精度22121'()()kknkAxPxP147表5.5.11155855095995()()()()fxdxfff三点Gauss-Legendre求积公式5次代数精度1100()(),()()nnninkkiiiikikPxxxPxxx例1：应用两点Gauss-Legendre求积公式计算积分210xIedx解：1222()()babatxt作变换2211140112()txIedxedt001112()()AgtAgt0112()()gtgt214()()tgte07465875.074682413.三点Gauss-Legendre求积公式2211140112()txIedxedt00112212()()()AgtAgtAgt07468145.0120555555555608888888889..AAA012()cos(arccos),,,nTxnxn011(),()TxTxx11212()()(),,nnnTxxTxTxn2221()Txx3343()Txxx例如：切比雪夫（Chebyshev）正交多项式系：2()kTx只含有的偶次幂，只含有的奇次幂。21()kTxxx121010210()()ijijTxTxdxijxij()nTx在[-1,1]内的n个零点和n+1个最值点为：21122()cos()(,,,)kknn01cos(,,,)kxknn见文献[13]Gauss-Chebyshev求积公式211()xx110()()()nkkkfxxdxAfx其中求积节点是n+1次Chebyshev多项式的零点0[,]nkkxab2101222cos,,,,kkxknn求积系数0121,,,,kAknn例2：应用两点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分22012()xIdxxx解：122()()babaxtt作变换0011()()AgtAgt22212011221()xttIdxdtxxt22()gttt012()()gtgt节点增加时需重新计算可以计算广义积分007071067814cos.t1034costt012()()gtgt1570796325966.220115707963267922.()xIdxxxNewton—Cotes求积公式是等距节点的插值型求积公式，当n7时计算不稳定；梯形求积公式和Simpson求积公式是低精度方法，但对于光滑性较差的被积函数有时比高精度方法能得到更好的效果。实际计算中一般采用复化求积公式。Romberg求积方法。算法简单，当节点加密提高积分近