弹性力学―平面问题的极坐标解答

第四章平面问题的极坐标解答第四章平面问题的极坐标解答区别:直角坐标中,x和y坐标线都是直线,有固定的方向,x和y的量纲均为L。极坐标中,坐标线（、=常数）在不同点有不同的方向;相同:两者都是正交坐标系。r直角坐标(x,y)与极坐标比较：),(r第四章平面问题的极坐标解答坐标线为直线,坐标线为圆弧曲线;的量纲为L,的量纲为1。这些区别将引起弹性力学基本方程的区别。对于圆形，弧形，扇形及由径向线和环向围成的物体，宜用极坐标求解。用极坐标表示边界简单，使边界条件简化。rr第四章平面问题的极坐标解答§4－1极坐标中的平衡微分方程在域内任一点（，）取出一个微分体，考虑基本平衡条件。r微分体─由夹角为的两径向线和距离为的两环向线围成。drd第四章平面问题的极坐标解答第四章平面问题的极坐标解答注意：两面不平行，夹角为；两面面积不等，分别为，。从原点出发为正，从x轴向y轴方向转向为正。drdrddrrr第四章平面问题的极坐标解答微分体上的作用力有：体力—,以坐标正向为正。应力—面，面,分别表示应力及其增量。应力同样以正面正向，负面负向的应力为正，反之为负。ffr,r第四章平面问题的极坐标解答应用假定（1）连续性，（2）小变形。,r,0rF,0F。0zM平衡条件考虑通过微分体形心的向，列出三个平衡条件第四章平面问题的极坐标解答其中可取,12cosd。22sindd通过形心点的向合力为0，0rFr02cos2cos)(2sin2sin)())((drrdfddrddrdddrddrdrdddrrdrrrrrrrrr第四章平面问题的极坐标解答上式中一阶微量相互抵消，略去三阶微量，保留到二阶微量，得式中第一、二、四项与直角坐标的方程相似。01rrrrfrrr第四章平面问题的极坐标解答—是由于面面积大于面面积而引起的，rrrσrrσ—是由于面在形心点的向有投影。r第四章平面问题的极坐标解答略去三阶微量，保留到二阶微量，得通过形心的向合应力为0，0F02sin2sin)())((2cos2cos)(drrdfddrddrdrdddrrdrrddrddrdrrrrrr021frrrrr第四章平面问题的极坐标解答式中第一、二、四项与直角坐标的方程相似，而—是由于面的面积大于面引起的，rτr—是由于面上的切应力在形心点的向有投影。rτrrr第四章平面问题的极坐标解答rr通过形心点的力矩为0，当考虑到二阶微量时，得0zM第四章平面问题的极坐标解答思考题1、试说明在导出上述平衡微分方程中，同样应用了连续性和小变形的基本假定，因而适用的条件也是这两个。2、试对微分体上的不同点列出平衡条件，或者考虑每一面上的应力为非均匀分布，列出平衡条件，证明式（4－1）在二阶微量的精度内总是相同的。第四章平面问题的极坐标解答几何方程—表示微分线段上应变和位移之间的几何关系式。,rdPA。drPB§4－2极坐标中的几何方程及物理方程过任一点作两个沿正标向的微分线段第四章平面问题的极坐标解答1.只有径向位移ruP,A,B变形后为各点的位移如图B'A'P',,第四章平面问题的极坐标解答线应变PBPA线应变在小变形假定下，几何方程rudrudrruuPAPPAAPAPAAPrrrrrrurdrddurPBPBBPrr)(此项表示：径向位移会引起环向线段的正应变第四章平面问题的极坐标解答转角PA0转角PB切应变几何方程rrrrurrduduuPBPPBB1)(rrur1第四章平面问题的极坐标解答2.只有环向位移uP,A,B变形后为，各点的位移如图(b)。BAP第四章平面问题的极坐标解答线应变PA，（略去高阶小量）0r线应变PB转角PA几何方程urrduduuPBPPBBPBPBBP1)(rudrudrruuPAPPAA)(第四章平面问题的极坐标解答转角PB,,POOP变形后切线变形前切线值）（使原直角扩大，为负切应变此项表示，环向位移会引起环向线段的转角几何方程ruOPPPPPOrurur第四章平面问题的极坐标解答3.当和同时存在时，几何方程为uru几何方程ruruururrururrrrr11第四章平面问题的极坐标解答极坐标中的物理方程直角坐标中的物理方程是代数方程，且x与y为正交，r故物理方程形式相似。物理方程极坐标中的物理方程也是代数方程，且与为正交。第四章平面问题的极坐标解答平面应力问题的物理方程：物理方程对于平面应变问题，只须作如下同样变换，,EE21。1rrrrrEννEνE)1(211第四章平面问题的极坐标解答边界条件—应用极坐标时，弹性体的边界面通常均为坐标面，即：,常数常数，或r边界条件故边界条件形式简单。第四章平面问题的极坐标解答§4－3坐标变换式以下建立直角坐标系与极坐标系的变换关系，用于：物理量的转换，从直角坐标系中的公式导出极坐标系中的方程。第四章平面问题的极坐标解答将式或代入，2.函数的变换（标量）：,cosrx;sinry反之,222yxr。xyarctan。)(),(r,ΦyxΦ)(a)(b1.坐标变量的变换：)(a)(b坐标变换第四章平面问题的极坐标解答或)(d)(c3.矢量的变换：),(),(uuvurd坐标变换位移cossin,sincosuuvuuurrcossin,sincosvuuvuur第四章平面问题的极坐标解答4.导数的变换：将对的导数，变换为对的导数。yx,r,θ可看成是而又是的函数，即是通过中间变量为的复合函数。),(yx）（r,yx,yx,有:坐标变换yyrryxxrrxr,θr,θ),(yx第四章平面问题的极坐标解答而代入，即得一阶导数的变换公式)(e一阶导数rryyrryrrxxrrxcossinsin1coscosrxxrsinryyrrryxsin2rrxycos2第四章平面问题的极坐标解答注意：上式展开过程中，系数中也包含和θr二阶导数的变换公式，可以从式(e)导出，二阶导数222222222222sincossin2sincossin2cos)sin1)(cossin1(cosrrrrrrrrrrrx类似可以得到其它二式，重新整理后有：第四章平面问题的极坐标解答)(g拉普拉斯算子的变换：由上式得二阶导数22222222211rrrryx。)])[sin(cos)][sincos],[sincos2)(cos)(sin],[sincos2)(sin)(cos222222222222222222222r1(rr1rr1(ryx)θr1(rr1rr1ry)θr1(rr1rr1rx22222)(f第四章平面问题的极坐标解答应力分量不仅具有方向性，还与其作用面有关。因此，应力分量的坐标变换关系，应按以下方式得出。1.已知，求。xyyxτσσ,,rθrτσσ,,取出一个包含x面、y面(含)和xyyxτσσ,,r5.应力的变换：第四章平面问题的极坐标解答由则设,sin,cos,dsacdsabdsbcrrτσ,面（含）的三角形微分体，厚度为1，图中A，考虑其平衡条件。第四章平面问题的极坐标解答得同理，由)(a)(b0rF0cos1sinsin1cossin1sincos1cos1dsdsdsdsdsyxxyyxrcossin2sincos22xyyxr0F)sin(coscossin)(22yxyxr第四章平面问题的极坐标解答)(c类似取出包含x面,y面和面的三角形微分体，厚度为1，图中B，考虑其平衡条件，0Fcossin2cossin22xyyx第四章平面问题的极坐标解答应用相似的方法，可得到2.已知，求xyyxτσσ,,rθrτσσ,,)sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos22r2222rxyrryrrx第四章平面问题的极坐标解答极坐标系中按应力函数求解，应满足：Φ(1)域内相容方程04Φ(2)上的应力边界条件（设全部为应力边界条件）ss(3)多连体中的位移单值条件。§4－4极坐标中的应力函数与相容方程第四章平面问题的极坐标解答2.极坐标中应力用应力函数表示0,ΦΦ224可考虑几种导出方法：1.极坐标中的相容方程)(r,Φ(1)从平衡微分方程直接导出（类似于直角坐标系中方法）。。)11(2222222222rrrryx其中：第四章平面问题的极坐标解答0220xryΦσσ)()((2)应用特殊关系式，即当x轴移动到与轴重合时，有:r代入上节中的关系式，得出如书中公式。(3)应用应力变换公式sincossincossincossincos2222yxΦ2xΦyΦ2τσσσ22222xyyxr第四章平面问题的极坐标解答(4)应用应力变换公式sincos2sincos22rrxτσσσ而sincos)]([2cos)(sinσ222222Φr1rrΦr1rΦr1rΦyΦ222x代入公式，得出的公式。rσ比较两式的的系数，便得出的公式。sincos,sin,cos22rr,τ,σσ第四章平面问题的极坐标解答应力数值轴对称—仅为的函数，应力方向轴对称—轴对称，即绕轴对称，凡通过此轴的任何面均为对称面。轴对称应力问题：§4－5轴对称应力和相应的位移r0rτ第四章平面问题的极坐标解答,drdΦr1σr,22drΦdσ0)(a0)dddd(22Φrr1r2其中),dd(dddddd22rrrr1rr1r2相应的应力函数应力公式为：rΦΦ（1）相容方程第四章平面问题的极坐标解答)(,0)]}d(dd[dd{d4brΦrrr1rrr1r1Φ)(lnln22cDCrrBrrAΦ。相容方程成为常微分方程，积分四次得的通解Φ第四章平面问题的极坐标解答)(0,2)ln23(,2)ln21(22dCrBrACrBrArr。(2)应力通解：将式(c)代入式(a)，第四章平面问题的极坐标解答将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分，rrεru;)(d