弹性力学例题

例题1例题2例题3例题4例题8例题7例题6例题5图3-5xσxyτMsFNFydyyxlh/2h/2o)1,(hl解：本题是较典型的例题，已经给出了应力函数，可按下列步骤求解。Φ1.将代入相容方程，显然是满足的。Φ2.将代入式(2-24)，求出应力分量。Φ。)3(,0,6622DyAσDxyCyBσxyyx3.考察边界条件：主要边界上应精确满足式(2-15),2/hy/22/2()0,3()0,0.(a)4yyhxyyhσADh满足；得在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意x=0是负x面，图3-5中表示了负x面上的的正方向，由此得：xyxσ和/20/2()d,;2hNxxNhFσyFBh得/203/22()d,;hxxhMσyyMCh得/230/21()d,.(b)4hxYxsshyFAhDhF得由(a),(b)解出332,.2ssFFADhh最后一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核。代入应力公式，得33221212,0,3(14).2NsxysxyFFMσyxyhhhσFyhh例题2挡水墙的密度为，厚度为b,图示,水的密度为，试求应力分量。12yox2b2bg1g2解：用半逆解法求解。1.假设应力分量的函数形式。因为在y=-b/2边界上，y=b/2边界上，，所以可假设在区域内沿x向也是一次式变化，即;0yσgxσy2yσ。)(yxfσy2.按应力函数的形式，由推测的形式，2221312(),()(),2()()().6yΦσxfyxΦxfyfyxxΦfyxfyfyyσΦ所以3.由相容方程求应力函数。代入得,04Φ.0dd2dddddd622424414443yfxyfyfxyfx要使上式在任意的x处都成立，必须43244254321142432224d0,;ddd20,;dd106d0,.dffAyByCyDyffABfyyGyHyIyyyffEyFyy得得得代入，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式。Φ4.由应力函数求解应力分量。将代入式(2-24),注意，体力求得应力分量为Φ0,1yxfgf232321(3(2262)(62),xxΦBσxfxAyyxAyByGyHEyFgx2322(),yyΦσyfxAyByCyDx222432(32)22(32).23xyΦxτAyByCxyAByyGyHyI5.考察边界条件：主要边界上,有2/by/22(),yybσgx/2()0,yybσ/2()0,xyyb322();(a)842bbbxABCDgx32()0;(b)842bbbxABCD224323()243()0.32124xbABbCbbbABGHbI得得得由上式得到230(c,d)4bABbC43230(e,f)32124bbbABGHbI求解各系数，由(a)+(b)(a)-(b)321,822bbACg23C04bA。221,42bBDg321,822bbACg(c)-(d)(c)+(d)得得得得由此得22323,.2AgCgbb又有.04332)()(0)()(24IbGbAfeHfe得，得代入A,得223.(g)164bbIgG在次要边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件：/20/2/20/22/202/2()d0,0;()d0,0;()d0,.(h)804bxxbbxxbbxyxbσyFσyyEbbyIgG得得得由式(g),(h)解出.101,8022gbGgbI代入应力分量的表达式得最后的应力解答：332221333232322233234,521(2);3233(3)()41080xyxygggσxyxyxygxbbbyyσgxbbyyybgxgybbbby。例题3已知,)();()()(42223422222EyDxyyCxyBxAxΦbyxCBxyxaAyΦa试问它们能否作为平面问题的应力函数？解：作为应力函数，必须首先满足相容方程，.04Φ将代入，Φ(a)其中A=0，才可能成为应力函数；(b)必须满足3(A+E)+C=0,才可能成为应力函数。例题4图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F和力矩的作用，试用应力函数求解图示问题的应力及位移，设在A点的位移和转角均为零。2FbM,23BxAxΦbbAyxhOFFb/2)1,(bh解：应用应力函数求解：(1)校核相容方程，满足.04Φ(2)求应力分量，在无体力时，得.0,26xyxyσBAxσ(3)考察主要边界条件，,0,0,xxyxbσ均已满足考察次要边界条件，在y=0上，0()0,xyy0()d,byybσxF0()d,2byybFbσxx满足。;2FBb28FAb。得得上述应力已满足了和全部边界条件，因而是上述问题的解。04Φ代入，得应力的解答，.0),231(2xyxyσbxbFσ(4)求应变分量，。0),231(2),231(2xyyxbxEbFbxEbF(5)求位移分量，3(1),22xuFxxxEbb由对积分得3(1),22yvFxyyEbb由对积分得213()();24FxuxfyEbb23()().22FxyvyfxEbb将u,v代入几何方程的第三式，。0xyyuxv两边分离变量，并全都等于常数，即212d()d()3,dd4fxfyFyxyEb从上式分别积分，求出20(),fxxv21023()8FfyyyuEb。代入u,v,得2202033(),2483().22FxFuxyyuEbbEbFxyvyxvEbb再由刚体约束条件，0,()0,xyhuy0,()0,xyhu0,()0,xyhv234FhEb；2038FhEbu；0.2FvhEb得得得22233()()2483()(1)22FxFuxhyEbbEbFxvhyEbb，。代入u,v,得到位移分量的解答在顶点x=y=0，0().2xyFhvEb例题5图中矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载。试用下列应力函数,333533FxyExDxyyCxBxyyAxΦ求解应力分量。yx6ql3qllxqoh/2h/2l)1,(lh解：应用上述应力函数求解：(1)将代入相容方程，Φ。得B35ABAΦ,012072,04由此，。FxyExDxyyCxBxyyBxΦ33353335(2)代入应力公式，在无体力下，得。，，)33515(66106201022422333FDyCxByyBxExCxyBxyσDxyBxyyBxσxyyx(3)考察主要边界条件),2/(hy得,0,2/xyhy。0)43165()4153(2422FDhBhBhCx对于任意的x值，上式均满足，由此得,041532BhC。04316524FDhBh(a)(b),0)6345(,0,2/3EChBhxhyy.)6345(,,2/3lxqEChBhxlxqhyy(c)(d)由(3)+(4)得。lqE12由(3)-(4)得。lhqCBh23452由(5)-(1)得(e)。lhqClhqB4,53(4)考察小边界上的边界条件(x=0),由,6d)(02/2/qlyxhhxy得53.1646hhqlBDFh由式(2)和(6)解出).480(),1013(3hllhqFlhhlqD（f）另两个积分的边界条件，.0d)(,0d)(02/2/02/2/yyσyσxhhxxhhx显然是满足的。于是将各系数代入应力表达式，得最后的应力解答。222222323222232(2),10(134),2(14)(3).420xyxyxylxyσqlhhhxyyσqlhhqylxhyhhlhllh读者试校核在x=l的小边界上，下列条件是满足的，.3d)(,0d)(0d)(2/2/2/2/2/2/qlyyyσyσlxhhxylxhhxlxhhx，例题6矩形截面的柱体受到顶部的集中力和力矩M的作用，不计体力，试用应力函数求解其应力分量。F2332DyCxyBxyAyΦMF245qqhyxob/2b/2)1,(bh解：应用上述应力函数求解：(1)代入相容方程，满足。,04Φ(2)求应力分量，在无体力下，。)3(,0,662CyBσDyCxyAσxyyx(3)考察边界条件，在主要边界),2/(by2/2,0,3,.(a)4yxyybσqBCbq满足；.,)3(d)(b/2b/2-202/2/bFAFDyAyFyσxhhx得，在小边界（x=0）/20/22b/233-b/2()d,2(2),;2hxxhσyyMyMADyMDb得/20/2b/232-b/2()d1()(b)4hxyxhyFFByCyFBCbb，，得。再由(a),(b)式解出).3(21),(22bFqBbFqbC代入，得应力解答，。2232)(6)3(21,0,12)(12ybFqbbFqσybMxybFqbbFσxyyx例题7试用应力函数求解图中所示的半无限平面体在的边界上受均布压力q的问题。],)arctan[(222xyxyyxqΦ0xxoyφ解：应校核相容方程和边界条件，若这些量均满足，则可以求出其应力分量。本题得出的应力解答是。2222222),(arctan),(arctanyxyqyxxyxyqσyxxyxyqσxyyx例题8试用应力函数求解图中所示的半平面体在的边界上受均布切力q的问题。],arctan)ln(21[222yxyxyyxqΦ0xxoqyφ解：应校核相容方程和边界条件，若这些量均满足，则可以求出其应力分量。本题得出的应力解答是。2222222222(arctan,),2(yxxyxyqyxyqσyxyyxlnqσxyyx例题1例题2例题3例题4例题5例题受均布荷载作用，如图，试求其挠度和内力。•固定边椭圆板的边界方程为•,0)1(2222byax0qOabyx例题1由，显然。因此，从方向.0),(snww0)(sw.0),(sywxw(,,)0.s0)(ssw解：固定边的边界条件是(a)(b)导数的公式可推出，为了满足边界条件(a)，可以令便可满足式(a)的边界条件。对于均布荷载，将式(c)代入方程得出，并从而得.)1(22222byaxmw0qq04qwD.)323(8)1(4224222220bbaaDbyaxqwm因此，只需取(c)内力为yM)].13()