导数及其应用课件__新人教版

导数及其应用主干知识整合│主干知识整合一、导数的概念及几何意义1．函数在x＝x0处的导数及导函数的概念．2．导数的几何意义：f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．│主干知识整合二、导数运算1．求导公式(1)C′＝0(其中C为常数)；(2)(xn)′＝nxn－1(n∈Q)；(3)(sinx)′＝cosx；(4)(cosx)′＝－sinx；(5)(lnx)′＝1x，(logax)′＝1xlogae；(6)(ex)′＝ex，(ax)′＝axlna.│主干知识整合2．导数的四则运算法则(1)(u±v)′＝u′±v′；(2)(uv)′＝u′v＋uv′；(3)uv′＝u′v－uv′v2(v≠0)．│主干知识整合三、导数的应用1．利用导数求曲线的切线．2．利用导数判断函数的单调性：(1)导数与单调性的关系：在某个区间内，如果f′(x)0(f′(x)0)，那么函数f(x)在这个区间内单调递增(减)；如果f′(x)＝0，那么函数在这个区间内是常数函数；如果f(x)在某个区间内是增(减)函数，则导数f′(x)≥0(f′(x)≤0)．(2)求单调区间的一般步骤：①确定定义域，②求f′(x)，③解不等式f′(x)0得函数的递增区间；解不等式f′(x)0得函数的递减区间．│主干知识整合3．利用导数求函数的极值、最值．(1)求极值的一般步骤：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号，左正右负极大值，左负右正极小值．(2)连续函数在闭区间[a，b]上必有最大值、最小值，先求出使方程f′(x)＝0的所有点的函数值，再与端点函数值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．4．利用导数综合研究函数的性质、函数的零点、方程的根、构造函数证明不等式等问题．要点热点探究│要点热点探究►探究点一导数几何意义例1[2010·湖北卷]设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，其中a＞0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(1)确定b、c的值；(2)设曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))及(x2，f(x2))处的切线都过点(0,2)，证明：当x1≠x2时，f′(x1)≠f′(x2)．│要点热点探究【解答】(1)由f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c得f(0)＝c，f′(x)＝x2－ax＋b，f′(0)＝b.又由曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，得f(0)＝1，f′(0)＝0，故b＝0，c＝1.(2)f(x)＝13x3－a2x2＋1，f′(x)＝x2－ax，由于点(t，f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f′(t)(x－t)，而点(0,2)在切线上，所以2－f(t)＝f′(t)(－t)，化简得23t3－a2t2＋1＝0，即t满足的方程为23t3－a2t2＋1＝0.│要点热点探究下面用反证法证明假设f′(x1)＝f′(x2)，由于曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))及(x2，f(x2))处的切线都过点(0,2)，则下列等式成立23x31－a2x21＋1＝0，123x32－a2x22＋1＝0，2x21－ax1＝x22－ax2，3由(3)得x1＋x2＝a，由(1)－(2)得x21＋x1x2＋x22＝34a2，(4)又x21＋x1x2＋x22＝(x1＋x2)2－x1x2＝x1－a22＋34a2≥34a2，故由(4)得x1＝a2，此时x2＝a2与x1≠x2矛盾，所以f′(x1)≠f′(x2)．│要点热点探究【点评】导数几何意义的应用要注意抓住两点：一是切点处的导数就是切线的斜率．二是切点坐标同时适合曲线方程和切线方程．要点热点探究│要点热点探究►探究点二利用导数探究函数的单调性例2设函数f(x)＝exx2＋ax＋a，其中a为实数．(1)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单调区间；(2)当a＝－1时，如对任意x∈[0,1]，t∈[0,1]，不等式f(x)≤t2－mt－1恒成立，求实数m的取值范围．│要点热点探究【解答】(1)∵f(x)的定义域为R，∴x2＋ax＋a≠0恒成立，∴Δ＝a2－4a0，∴0a4，即当0a4时，f(x)的定义域为R.f′(x)＝xx＋a－2exx2＋ax＋a2.由于ex0，(x2＋ax＋a)20，故f′(x)的符号与g(x)＝x[x－(2－a)]的符号相同．│要点热点探究(i)当2－a0，即0a2时，g(x)0的解集为(－∞，0)∪(2－a，＋∞)，g(x)0的解集是(0,2－a)，故此时函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(2－a，＋∞)，单调递减区间是(0,2－a)；(ii)当a＝2时，g(x)≥0，即f′(x)≥0，但仅在x＝0处等于0，故函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；(iii)当2－a0，即2a4时，g(x)0的解集为(－∞，2－a)∪(0，＋∞)，g(x)0的解集是(2－a,0)，故此时函数f(x)的单调递增区间是(－∞，2－a)，(0，＋∞)，单调递减区间是(2－a,0)．│要点热点探究(2)当a＝－1时，函数f(x)的定义域是－∞，1－52∪1－52，1＋52∪1＋52，＋∞，函数f(x)在区间[0,1]上有意义．根据(1)g(x)＝x(x－3)0，故函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(0)＝－1，问题等价于t2－mt－1≥－1对任意的t∈[0,1]恒成立，即t2－mt≥0对任意的t∈[0,1]恒成立．当t＝0时，m∈R，当0t≤1时，m≤t恒成立，即m≤0.│要点热点探究综上知只要m≤0，即可满足对任意x∈[0,1]，t∈[0,1]，不等式f(x)≤t2－mt－1恒成立，即m的取值范围是(－∞，0]．【点评】这类函数的特点是其导数的分子上是一个二次三项式和指数函数的乘积，其单调性的讨论就归结了一个一元二次不等式解集的讨论．讨论分式类函数的单调性，要充分考虑函数的定义域，如本题中第一问的讨论如果没有函数定义域是R的限制，就要在求出的单调区间内去掉分母等于0的点，对单调区间重新进行划分，如本题第二问中a＝－1时，函数的单调递增区间是－∞，5－12，1－52，0和(3，＋∞)；│要点热点探究本题第二问中对于两个任意，可以先考虑对任意x∈[0,1]，不等式f(x)≤t2－mt－1恒成立，得到t2－mt－1≥f(x)max，再考虑这个不等式对任意t∈[0,1]恒成立，这样就把问题归结为“t2－mt－1≥－1对任意的t∈[0,1]恒成立”，这种不断转化问题的思想是解决多参数不等式恒成立时要认真考虑的．│要点热点探究已知函数f(x)＝lnax－x－ax(a≠0)．(1)求此函数的单调区间及最值；(2)求证：对于任意正整数n，均有1＋12＋13＋…＋1n≥lnenn！.│要点热点探究【解答】(1)由题意f′(x)＝x－ax2.当a0时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，此时函数在(0，a)上是减函数，在(a，＋∞)上是增函数，fmin(x)＝f(a)＝lna2，无最大值．当a0时，函数f(x)的定义域为(－∞，0)，此时函数在(－∞，a)上是减函数，在(a,0)上是增函数，fmin(x)＝f(a)＝lna2，无最大值．(2)取a＝1，由(1)知f(x)＝lnx－x－1x≥f(1)＝0，故1x≥1－lnx＝lnex，取x＝1,2,3…，则1＋12＋13＋…＋1n≥lnenn！.要点热点探究│要点热点探究►探究点三利用导数求函数的极值和最值例3[2010·陕西卷]已知函数f(x)＝x，g(x)＝alnx，a∈R.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式；(3)对(2)中的φ(a)，证明：当a∈(0，＋∞)时，φ(a)≤1.│要点热点探究【解答】(1)f′(x)＝12x，g′(x)＝ax(x0)，由已知x＝alnx，12x＝ax，解得a＝e2，x＝e2，∵两条曲线交点的坐标为(e2，e)，切线的斜率为k＝f′(e2)＝12e，∴切线的方程为y－e＝12e(x－e2)．│要点热点探究(2)由条件知h(x)＝x－alnx(x0)，∴h′(x)＝12x－ax＝x－2a2x，①当a0时，令h′(x)＝0，解得x＝4a2，所以当0x4a2时h′(x)0，h(x)在(0,4a2)上递减；当x4a2时，h′(x)0，h(x)在(0,4a2)上递增．所以x＝4a2是h(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点．所以φ(a)＝h(4a2)＝2a－aln4a2.│要点热点探究②当a≤0时，h′(x)0，h(x)在(0，＋∞)递增，无最小值．故h(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)＝2a(1－ln2a)(a0)．(3)由(2)知φ(a)＝2a(1－ln2a)则φ′(a)＝－2ln2a，令φ′(a)＝0，解得a＝12，当0a12时，φ′(a)0，所以φ(a)在0，12上递增，当a12时，φ′(a)0，所以φ(a)在12，＋∞上递减．所以φ(a)在(0，＋∞)上有极大值φ12＝1.因为φ(a)在(0，＋∞)上有且只有一个极值点，所以φ12＝1也是φ(a)的最大值，所以当a属于(0，＋∞)时，总有φ(a)≤1.要点热点探究│要点热点探究►探究点四利用导数解决生活中的优化问题例4两个相距400m的商场之间为了顾客的方便，要在两个商场之间建造一座简易天桥，建造方法是，先建造天桥支柱，然后在两个支柱之间建造桥面，把整个天桥连结起来，天桥两端各有一个支柱．已知一个支柱的造价是2万元，在两个相距为xm的两个支柱之间，天桥桥面的造价是12（x5）32万元．(1)将总费用y表示为x的函数；(2)建造多少个支柱，可以使工程总费用最低？最低费用是多少万元？│要点热点探究【解答】(1)设建造支柱n根，则(n－1)x＝400，即n＝400x＋1.y＝2n＋(n－1)·12x532＝800x＋2＋400x·12x532＝800x＋40x5＋2，(0x400)．│要点热点探究(2)y′＝－800x2＋45x＝45x32－405x2，令y′＝0，解得x＝20.当0x20时，y′0，当20x400时，y′0.故x＝20是函数的极小值点，又这个极小值点唯一，也是最小值点．此时n＝40020＋1＝21，y＝80020＋40205＋2＝122.故需要建造21根支柱，费用最低，最低费用为122万元．│要点热点探究【点评】生活中优化问题的关键是影响目标的变量，只要找到了这个变量，把目标需要的量用这个变量表达就建立起了目标的函数关系式，再利用导数研究这个目标函数的性质，得到问题的答案．解答这类问题时，一般都涉及单位，要注意单位的统一．教师备用题│教师备用题备选理由：1是导数的几何意义，2是应用导数求单调性与极值可作为基础训练，3是导数的综合应用，特别是不等式恒成立问题以及不等式的证明，难度较大，提高能力．1．曲线y＝x－x3在点(－1,0)处的切线与两正坐标轴所围成的图形的面积是()A.14B.12C．1D．2│教师备用题【解析】Cy′＝1－3x2，故曲线在点(－1,0)处的切线斜率是－2，故其切线方程是y＝－2(x＋1)，令x＝0，得y＝－2.所围成的三角形的三个顶点坐标是(0,0)，(－1,0)，(0，－2)，这个三角形的面积是1.│教师备用题2．已知函数f(x)＝2ax－a2＋1x2＋1(x∈R)，其中a∈R.(1)当a＝0时，求曲线y＝f