[原创]2013年《随堂优化训练》数学 二次函数实际问题与二次函数[配套课件]

26.3实际问题与二次函数1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值低(1)当a0时，二次函数的图象(抛物线)有最______点，当x＝______时，函数有最____值为__________．小(2)当a0时，二次函数的图象(抛物线)有最______点，当x＝______时，函数有最____值为_________．大高－b2a4ac－b24a－b2a4ac－b24a2．实际问题中的二次函数(1)先根据题意列函数解析式，再确定______的取值范围，要使实际问题有意义，最后根据题意求解．(2)某些问题只有通过建立直角坐标系才能求函数解析式，因此需先建立直角坐标系，一般是以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴作为建立直角坐标系的原则.自变量根据实际问题列二次函数例1：用一定长度的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架(如图26－3－1中(1)(2)(3)中的一种)．图26－3－1设竖档AB＝x米，请根据以上图案回答下列问题：(题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD，AB平行)．(1)在图26－3－1(1)中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？(2)在图26－3－1(2)中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(3)在图26－3－1(3)中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？自主解答：(1)当不锈钢材料总长度为12米，共有3条竖档时，BC＝12－3x3＝4－x，∴x(4－x)＝3.解得x＝1或x＝3.(2)当不锈钢材料总长度为12米，共有4条竖档时，BC＝12－4x3，矩形框架ABCD的面积S＝x·12－4x3＝－43x2＋4x.当x＝－42×－43＝32时，S最大值＝3.∴当x＝32时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为3平方米．(3)当不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档时，BC＝a－nx3，矩形框架ABCD的面积S＝x·a－nx3＝－n3x2＋a3x.当x＝－a32×－n3＝a2n时，S最大值＝a212n.∴当x＝a2n时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为a212n平方米．跟踪训练1．矩形的一边长为x，周长为8，则当矩形面积最大时，x)B的值为(A．4B．2C．6D．5x/10万元012…y11.51.8…2．某公司生产A种产品，它的成本2元，售价为3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，当每年投入的广告费是x(单位：10万元)时，产品的年销售量是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表所示.(1)写出y与x的函数关系式；(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润s(单位：10万元)与广告费x(单位：10万元)的函数关系式；(3)如果投入的年广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大．解：(1)设二次函数的关系式为y＝ax2＋bx＋c，∵当x＝0时，y＝1；当x＝1时，y＝1.5；当x＝2时，y＝1.8；∴1,1.5,1.842,cabcabc解得0.1,0.6,1.abc∴所求的二次函数的关系式为y＝－0.1x2＋0.6x＋1.(2)由题意，得s＝10y(3－2)－x＝10(－0.1x2＋0.6x＋1)－x＝－x2＋5x＋10.(3)∵s＝－x2＋5x＋10＝－x－522＋754.由于1≤x≤3，∴当1≤x≤2.5时，s随x的增大而增大．∴广告费在10万元～25万元，公司获得的年利润随广告费的增大而增大．建立恰当的坐标系解实际问题(难点)例2：如图26－3－2，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB＝10m，如果水位上升2m，就将达到警戒线CD，这时水面的宽为8m．若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过多少小时会达到拱顶？图26－3－2思路点拨：根据题意，建立合适的平面直角坐标系，根据已知确定抛物线上有关点的坐标，求解析式，并运用解析式解答题目的问题．自主解答：以AB所在的直线为x轴，AB中点为原点，建立平面直角坐标系，则抛物线的顶点E在y轴上，且B，D两点的坐标分别为(5,0)，(4,2)．设抛物线为y＝ax2＋k，由B，D两点在抛物线上，有162,250,akak解这个方程组，得a＝－29，k＝－509.所以，抛物线解析式为y＝－29x2－509，其顶点坐标为0，－509，则OE＝509.故509÷0.1＝5009(h)．所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过5009小时会达到拱顶．跟踪训练3.某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图26－3－3所示，其拱形图形是抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同的间距0.2米，用5根立柱加固，拱高OC为0.6米．(1)以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上数据，求出抛物线的函数解析式；(2)计算一段栅栏所需立柱的总长度(精确到0.1米)．图26－3－3解：(1)设抛物线解析式为y＝ax2，由已知可知：OC＝0.6，AC＝0.6，则点A的坐标为(0.6,0.6)，代入到y＝ax2中，得a＝53，则抛物线的解析式为y＝53x2.(2)点D1，D2的横坐标分别为0.2,0.4，代入到y＝53x2中，可得点D1，D2的纵坐标分别为y1＝53×0.22＝115，y2＝53×0.42＝415.所以立柱C1D1＝0.6－0.07＝0.53，C2D2＝0.6－0.27＝0.33.由于抛物线关于y轴对称，栅栏所需立柱的总长度为2(C1D1＋C2D2)＋OC＝20.53＋115＋415＋0.6≈2.3(米)．