0017质系的动量矩定理

2020年2月8日星期六Page1作业：7－77－87－92020年2月8日星期六Page2第2节质系动量矩定理2020年2月8日星期六Page3质系中各质点动量pi对点O之矩的矢量和称为质系对点O的动量矩，或角动量OiiiimLrv质系的动量矩是度量质系整体运动的基本特征量。动量矩是一个矢量，它与矩心O的选择有关。质系的动量矩mivirixyzO2020年2月8日星期六Page4miviirixyzAdiOrOA质系对任意两点的动量矩之间的关系OiiiimLrvAiiiimLdvLO与LA有何关系？类比：（1）力对点之矩（2）力对不同点之矩的关系2020年2月8日星期六Page5miviiCrirOCxyzAdiOrOAiOAir=r+d111()nOOAiiiinniiiOAiiiimmmLr+dvdvrvOAOACmLL+rvOCOCCmLL+rv质系对任意点的动量矩等于质系对质心的动量矩与作用于质心的质系的动量对该点之矩的矢量和。2020年2月8日星期六Page6绝对运动与相对运动的动量矩rirOArOCrCAdiρiOXYZACmiAiiimLdvAriiirmLdviAirvvvAiiAirmLdvviiAArmdvLACAArmrvL因此一般LA=LAr不成立。但LC=LCr成立基点法，平动坐标系2020年2月8日星期六Page7如何计算？ArLAriiirmLdvrirOArOCrCAdiρiOXYZACmiAriiimLdωd2AriimdLωArAJLω（对任意系统成立）（只对刚体成立）（只对刚体平面运动成立）JA是刚体对A轴的转动惯量。2020年2月8日星期六Page8小结OiiiimLrvOAOACmLL+rvOCOCCmLL+rvAArACAmLLrvCCrLLrirArCrCAdiρiOXYZACmiAiiimLdvCiiimLρvAriiirmLdvCriiirmLρv2020年2月8日星期六Page9思考题一半径为r的匀质圆盘在水平面上纯滚动，如图所示。已知圆盘对质心的转动惯量为JC，角速度为，质心C点的速度为vC。试求圆盘对水平面上O点的动量矩。OCOCCmLLrvCrviCCrLL2CJmr1ω=ω2vvooOOrrOOvvCCrrOOxyOCr2OCCmmrrvω232OmrLω2020年2月8日星期六Page102232OACJJmrmrLωωωAvvooOOrrOOvvCrrOOxyOCrOAOACmLLrvArAJLω0Av//COAvrArACAOACmm=Lrvrv另一种解法2020年2月8日星期六Page11质系对任意动点的动量矩定理1nAiiiimLdv11ddddnniAiiiiiiimmttdLvda()()ieiiiimaFFddiiAtd=vv()ddeAACAmtLMvv质系动量矩的变化仅取决于外力系的主矩，内力不能改变质系的动量矩。rirArCdiρiOXYZACmi11ddnnAAiiiiivmt(e)iLvdF绝对运动2020年2月8日星期六Page12()ddeArAACAmtLMra11()nnAriiiriiiAiimmvLdvdv11dd()ddnniAriiriiiAiimmttdLvdaa()()ieiiiimaFFddiiAirtd=vvvrirArCrACdiρiOXYZCmiA11ddnnAriiiiiAiimmtLdada相对运动()11ddnneAriiiiAiimtLdFda不要求，略2020年2月8日星期六Page13公式小结()ddeAACAmtLMvv()ddeArAACAmtLMraA为固定点()ddeAAtLM()ddeArAtLMA为质心()ddeCCtLM()ddeCrCtLMA为速度瞬心()ddeAAtLM()ddeArAACAmtLMraddddCCrttLL黄色框要记住，灰色框不必记2020年2月8日星期六Page14质系动量矩守恒定理()ddeAAtLM()0eAMALC当外力系对某定点的主矩等于零时，质系对于该点的动量矩保持不变()ddeCCtLM当外力系对质心的主矩等于零时，质系对于质心的动量矩保持不变()0eCMCLC2020年2月8日星期六Page15质量均为m的A和B两人同时从静止开始爬绳。已知A的体质比B的体质好，因此A相对于绳的速率u1大于B相对于绳的速率u2。试问谁先到达顶端并求绳子的移动速率u。OAvBvABOAvBvAB例12020年2月8日星期六Page16解取滑轮与A和B两人为研究对象，系统对O点动量矩守恒：()0ABrmvmv设绳子移动的速率为u1Avuu2Bvuu12()/2uuuABvvOAvBvABOAvBvAB两人同时到达定端2020年2月8日星期六Page17质量均为m的两小球C和D用长为2l的无质量刚性杆连接，并以其中点固定在铅垂轴AB上，杆与AB轴之间的夹角为，轴AB以匀角速度转动。A、B轴承间的距离为h。求(1).系统对O点的动量矩；(2).A、B轴承的约束反力。例2yωACoDBz2020年2月8日星期六Page18解(1).系统对O点的动量矩角速度矢量(cossin)ωjk两小球的矢径,CDllrjrj它们的速度sinCClvωrisinDDlvωri由质系的动量矩的定义可得22sinOCCDDmmmlLrvrvk取整体系统为研究对象，建立固结坐标系yωACoDBz2020年2月8日星期六Page19(2).求A、B轴承的约束力22sin2OOdmldtLωL=i由质系的质心运动定理得,2ABBYYZmg外力系对O点的主矩为()eOAYhMi质系对定点的动量矩定理：22sin2ABmlYYhAYBYyOLACoDBzmgmgBZω()eOOddtLM2020年2月8日星期六Page20刚体对定轴z的动量矩：211()nnziiiiiziiLmrrmrJ1()nzziiJMF1()nzziiJMF刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用在刚体上的主动力系对该轴之矩。质系对定轴z的动量矩定理：刚体定轴转动运动微分方程imiriv对于不规则物体，常用回转半径表示转动惯量zzJm—回转半径2zzJm2020年2月8日星期六Page21例1设质量为m的刚体悬挂在O点，并可绕一水平轴O转动，C为刚体的质心。已知质心到悬挂点O的距离OC=a，求此复摆的微振动周期。OCaP2020年2月8日星期六Page22OCaP运动微分方程sinJmga令/lJmasin0gl如摆角很小，sin0gl复摆微振动周期为：22lJTgmga解2020年2月8日星期六Page23当5时，复摆的运动为非线性振动。l叫做复摆的等效摆长，该复摆的运动相当于摆长为l的单摆的运动。OCaa'lO'2'CJmalaama悬挂中心与摆动中心具有互易性。2CJJmaCJama可用复摆法测量刚体的转动惯量讨论2020年2月8日星期六Page24两个质量为m1和m2的重物分别系在两根不同的绳子上，两绳分别绕在半径为r1和r2并固结在一起的两鼓轮上，如所示。设鼓轮对O轴的转动惯量为JO，重为W。求鼓轮的角加速度。1mg2mgWOXOY1r2rO1mg2mgWOXOY1r2rO例22020年2月8日星期六Page25解(1)鼓轮的角加速度221122()OOLJmrmr2211221122()()OJmrmrmrmrg1122221122OmrmrgJmrmr1mg2mgWOXOY1r2rO1mg2mgWOXOY1r2rO取系统为研究对象，对O轴动量矩为问题：如果用力（p＝mg）代替重物，是否能等效？