南航 粘性流体力学 课件4

流动稳定性与转捩Part1两种流态和基本的剪切流Part2流动的稳定性Part3流动的转捩过程1.1两种基本流态Part1两种流态•基本剪切流•雷诺实验（1883）：层流与湍流；转捩过程；影响因素。•湍流一定是非定常的。•层流到湍流的转捩：流动的某些参数达到一定值，层流处于流动不稳定状态（或层流失稳），扰动得到放大，各种扰动相互作用，将演化成湍流状态。•流动稳定性理论：被寄予希望，探寻转捩机制；同时也自成流体动力学重要组成部分。1.2两类基本剪切流•壁剪切流：平板流，圆管流，凹凸壁流•自由剪切流：混合层射流尾迹流Part2流动稳定性•流动稳定性及其数学提法•线性稳定性•二次不稳定性（线性）•非线性稳定性（二维与三维）2.1流动稳定性及其数学提法（1）系统的稳定性概念：系统；系统状态；扰动；扰动的演化；稳定与不稳定。设NS(·)=0和BIC(·)=0分别代表流动基本方程组和定解条件，那么一个流体系统可以认为就是这样的Φ(x,y,z,t)：系统的某个原始状态Φ0及系统受扰后所处的新状态Φ1，都是（1）的解，即，。)1(0)(0)(BICNS,0)(0)(00BICNS。0)(0)(11BICNS（2）流动稳定性的数学提法那么该两状态的差异——扰动（见（2）式）——的时空演化由下面的方程组（3），即扰动方程，控制，如任意的（x,y,z,t)都趋于零,则系统的状态Φ0是稳定的；否则，不稳定。)3(0)()();(0)()();(000000BICBICBICNSNSNS).2(012.2线性稳定性（平行流的与非平行流的）扰动演化方程（3）是非线性的。如果是小扰动问题，则方程可以线性化近似，使问题分析和处理得到简化。这就是所谓的线性稳定性分析。而习惯上，讲流动是否稳定也是指其在小扰动作用下是否稳定。从物理上看，线性稳定并不保证一般的稳定性；但若线性不稳定，流动就断然不稳定了。所以，线性稳定性分析，如能指出流动系统在什么情形下失稳，就足够了，其他的结论要谨慎对待。最简单的流动状态就是所谓的定常层流平行剪切流，对此的线性稳定性分析——平行流线性稳定性理论，取得了一批重要成果。工程实际中严格意义的平行流很少，但平行流稳定性理论还是常用，理由有：（1）以局部流速剖面构成的平行流是几乎单向流动（某方向上变化缓慢）的一级近似；（2）在平行流基础上，进行非平行效应的修正。•Orr-Sommerfeld方程以二维不可压平行流动为例（见右图），并只考虑二维扰动情形。用U、V、W、P表示有待稳定性分析的流动状态的流速、压强，新状态相应的量由小写字母u、v、w、p表示，而差异量（扰动量）均带有撇“ˊ”，则pPp),0(,,),(,0),(扰动量满足的线性方程为)4(01122yvxuvypxvUtvuxpdydUvxuUtu为减少分析变量，引入扰动流函数)5(),,(),,(xtyxvytyxu显然，流函数可分解成Fourier级数。任取其中一项谐波，则有，)6()](exp[)(),,(txiytyx。iririi,。iriCCC/这里，波数和角频率均为复数。C=/为复波速。由（4）-（6）可得O-S方程：)2(Re))((422iUCU注：选定特征尺寸L、特征流速V0,无量纲化如下：0VUU0VCCLLyyLV0Re•DispersionRelation（色散关系）44332211AAAA0)(,0)(:0)(,0)(:222111yyyyyyyy0000)()()()()()()()()()()()()()()()(432124232221242322211413121114131211AAAAyyyyyyyyyyyyyyyy0),,(Re,irCCD•空间不稳定模式：)]*(exp[)(/*,,tCxieyCirxrrirri。00:,],[Re*Re:0),,(Re,21iiirthenAsCCD•时间不稳定模式：)](exp[)(,tCxieyCCiCirtCirrirrriri。00:,],[Re*Re:0),,(Re,21iiirCCthenAsCCD拇指曲线:•平板层流边界层线性稳定性分析的结果：(1)不稳定波的最小波长：;18)(235.0)(11max1minmax1rr(2)不稳定波的最大波速（相速）：;4.0VCr(3)不稳定波的最大增长率：。311110702.035.0)]/)([())](/)([(VCtVVCtCiririr(4)速度剖面拐点的影响：有拐点的速度剖面较无拐点的更易失稳；(5)扰动幅值增长较快的雷诺数并非在其高值范围区;(6)粘性的双重作用：无粘时（Re）,Rayleigh&Tollmiem证明了，有拐点是速度剖面不稳定的充要条件。即无拐点的速度剖面总是稳定的；但有粘时，可以失稳。这是粘性引起不稳定的一面（这一面，Prandtl在实验观察中就意识到并明确提出；C.C.Lin(1955)）。常识的一面，粘性对震荡总有耗散的作用。在一条件下，可使震荡完全衰减殆尽。这是黏性起稳定作用的一面。•自由剪切流的结果：对mixing-layer和jet自由剪切流，无论有粘无粘，速度剖面都是不稳定的——K-H不稳定。雷诺数不再是影响稳定与否的参数，重要的参数为（U1-U2)/(U1+U2)。它会影响不稳定扰动的频率。而且，空间不稳定性模式分析适合这类流动；时间不稳定性模式分析不适合。各不稳定扰动的波速,与壁剪切流一样,Cr~U。至于尾迹平行自由剪切流（远离物体的下游），也是如此。随Re=UD/增大，圆柱背风面区先出现对称一对定常分离漩涡；漩涡拉长；非定常交替涡脱落，形成卡门涡街。对这一现象，时间和空间模式分析，都无能预测涡脱落频率f，虽然试验结果明确：fD/U=const。•时空模式分析：AbsoluteInstability(AI);ConvectiveInstability(CI)注：M.Gaster(82),P.A.Monkewitz(87),P.Huerre(85).•属于对流不稳定的基本剪切流（或速度剖面）：边界层速度剖面；管道流速度剖面；同向、同质混合流速度剖面；同质射流速度剖面等。•属于绝对不稳定的基本剪切流（或速度剖面）：相向、同质混合流速度剖面；*钝体背风区近体流场速度剖面；低速热（轻质）射流速度剖面等。；对流不稳定的特点：对流不稳定的流体系统，（1）对一定频率、波数范围的扰动,接受并沿流向放大其幅值，起流向放大器作用；放大过程中，不改变其频率；因对不同频率的扰动幅值的放大率不同，有所谓的最优频率。带宽放大器；（2）放大过程，与扰动初始值有关；初值越小，幅值线性放大直至非线性饱和的过程越长（即向下游对流的距离越长）；（3）便于外部人工扰动的调控；（4）饱和过程及以后，有谐频（倍频或/和次频）扰动生成。绝对不稳定的特点：绝对不稳定的流体系统，（1）通常只有很窄频率范围的扰动,才被接受并就地放大，直至饱和；选频震荡器；（2）放大历程与扰动初始值无关；（3）外加人工扰动波的调控方式很难奏效；（4）流体系统震荡频率一般很纯。•非平行流效应：工程实际中几乎没有平行流，例如平板层流边界层就不是。流动在流向上的相对变化缓慢，虽平行流可视为其一种一级近似，但前人还是研究了流动非平行的影响。1),(),(~maxmaxxyxAyxAL缓变：不稳定T-S波向下游传播中，频率不变。流动非平行效应体现在波数（空间增长率和相速）方面：}])([exp{),(),,(1xxtdiyxtyx在x1处用Taylor级数并保留一阶，xxdxxxxyxyx1)(1exp[)(]/[),(),(1111xixxtdxiiyxtyxxx)()(*:}]))(([exp{),(),,(11当地波数)/Im()(*)/Re()(*xxxxrri实波数：增长率：平板层流边界层中性稳定曲线的非平流修正•影响层流边界层稳定性的因素：（1）压力梯度（2）物面的凉热（3）物面的凸凹（4）物面透气性（5）流体物性（6）流体的压缩性2.3二次不稳定性（三维、线性）流动参数达一定值，流体系统会失稳，扰动时空演化增长、非线性饱和，系统进入新状态。然而新的状态，也可能在一定条件下，失稳后又演化趋于另一新状态。※这里，二次不稳定说法显得十分自然，而有些多无新意。边界层的稳定性分析的目标之一，一直是想对转捩有个合理的说法。因此，稳定性理论的发展，一直伴随边界层转捩实验研究的进展。T-S波发现和证实，是转捩研究中重要成果之一。人们在试验新发现的激励下，提出新想法、新理论；反之，在新理论指导下，进行试验新探索。本节介绍的边界层二次不稳定性，就是在这种过程中，最早由Th.Herbert（1983-84）提出。三维扰动原本十分自然常见，但边界层平行流线性稳定分析中多将扰动设为2D的。原因之一，Squire(1933)已证明，2D扰动下层流边界层失稳的临界雷诺数小于3D扰动的。但实验的发现，使边界层稳定研究中3D性得到重视。（1）扰动人工引入——可控可调；（2）3D扰动的出现不可避免（即使前期是2D的T-S波）；（3）平均流速U(y)出现展向周期变化：U(y)U(y,z;Lz)；（4）原2D的u’(x,y),v’(x,y)u’(x,y,z),v’(x,y,z)（5）流向涡出现：流向和展向均表现出周期性；（6）3D扰动的增长率大于2DT-S波的。•Klebanoff(1962)经典平板边界层转捩实验（1）T-S波，振动片引入；烟线，同频脉冲金属丝引入；（2）流动显示结果见下图：（3）图(a)，K-型转捩：振动片引入的T-S波幅值最大，流向周期同T-S波，T-S波长=1.5展向波长；（4）图(b)：H-型转捩：T-S波幅值中等，T-S波长=1.46展向波长；C-型转捩：T-S波幅值最弱，T-S波长=0.67展向波长。但都有流向周期=2T-S波的周期。•Saric,Kozlov&Lechenko(1984)烟流显示实验•Herbert的二次不稳定性)1(},{),(000pVyx二维定常层流：有限小幅、二维扰动的平衡态：)2(},{),,(111ApVAtyx（1）+（2）流动系统的新态，而且可采用行进参照系而定常化：)3(102设三维小扰动：)4(},{),,(333pVtyx21032),,,(tzyx将如下代入N-S方程，保留的一阶，得Ginzburg-Landau型方程：CBVpVVVVVtV.0Re133332233其解形如，.,),(~3RiyxfeeVirzit.],[,0)(0)Re,;,(212