数字信号处理,DSP 第二章

第2章Ｚ变换+DTFT信号与系统的常见分析方法有时域分析法和变换域分析法。时域分析法有微分法、差分迭代法等;变换域法有拉普拉斯变换、付氏变换、Z变换、希伯特变换、序率变换、小波变换等。变换域原理是：原函数与核函数运算后得到像函数。原函数是被分析的对象；核函数是一个运算特征函数，不同的核函数对应不同的变换方法，具有不同的特点，适于不同的研究对象。像函数是变换的结果，核函数的物理特性决定像函数的物理解释或意义。变换域的一般原则:完备与正交性、函数内积（理论研究算法）离散时间系统：z变换和傅立叶变换。对离散时间系统，z变换是极重要的数学工具，可将差分方程转化为代数方程，简化求解。１、Ｚ变换的定义与收敛域２、Ｚ反变换３、Ｚ变换的基本性质和定理４、Ｚ变换与拉氏变换、傅氏变换的关系5、离散时间付氏变换及其性质6、周期性序列的付氏变换、对称性质7、离散系统的系统函数、系统的频率响应2.1Ｚ变换的定义与收敛域2.1.1Ｚ变换的定义序列x(n)的Z变换为z为复变量，上式称为双边Z变换或标准z变换核函数是z-n,其哑变量是n，变换后自变量是z变换方式:乘积与求和像函数的特点:无穷级数；注意:收敛域不同，原函数(反变换)非唯一nnznxzX)()(2.1.2Ｚ变换的收敛域x(n)的Z变换是无穷级数，必存在收敛和发散仅当级数收敛时X(z)可表示成闭合形式按级数理论，级数收敛的充要条件是绝对可和使上式成立的所有Z值的集合称为X(z)的收敛域注意：不同形式的序列，其收敛域不同Mznxnn)(（１）有限长序列Ｚ变换为因x(n)有界序列，是有限项求和，在0|z|∞收敛，收敛域至少是有限Z平面(0，∞)n1和n2特殊值时，收敛域扩大Re[z]Im[z]0ROC有限长序列的收敛域为其他值nnnnnxnx0)()(2121)()(nnnnznxzX0,||01nz0,||02nzn10n2例1：矩形序列是有限长序列，x(n)=RＮ(n)，求其X(z)解：收敛域为从上式知，z=1处有一极点，但从分子z=1处有一零点，零极点刚好对消。极点、零点：。。。。nNnNnnzzzznxzX10111)()(||0z（２）右边序列仅在n≥n1时，序列值不全为零，其它n的序列值全为零Ｚ变换若RX-是收敛最小半径，收敛域为110)()(nnnnnxnx1011)()()()(nnnnnnnnznxznxznxzX有限长序列，收敛域为有限Z平面Z负幂级数，收敛域RX-|Z|∞||zRxRe[z]Im[z]Rx-0右边序列n1=0时的右边序列称为因果序列，收敛域为因此，|z|=∞处Z变换收敛是因果序列的特征。例2：求指数序列的Ｚ变换。解：||zRx)()(nuanxn||||,11)()(1010azazzazazzazXnnnnn（３）左边序列仅在n≤n２时，序列有值，n＞n２时值全为零Ｚ变换为0122)()()()(nnnnnnnnznxznxznxzX有限长序列，收敛域为有限Z平面Z的正幂级数，收敛域为０|Z|RX＋220)()(nnnnnxnx收敛域为n２＞０，收敛域不包括z=0n２≤０，收敛域包括z=0xRz||0xRz||0Re[z]Im[z]0Rx+左边序列xRz||例3：求序列的Ｚ变换解：注意：1）若a=b，则例3与例2的Z变换式一样，故仅有Z变换式不够，不能得到原序列；2）须同时给出收敛域，才能惟一确定原序列。这也是收敛域的作用和重要性。)1()(nubnxn||||,111)(11111bzbzzbzzbzbzbzbzXnnnnnn（４）双边序列可看做左边序列+右边序列，故其Z变换收敛域应是这两个序列Z变换的公共收敛区间。Ｚ变换若RX－＜RX＋，则收敛域右边序列，收敛域|Z|＞RX－左边序列，收敛域|Z|RX＋nnnnnnznxznxznxzX10)()()()(xxRzR||Re[z]Im[z]0RＸ－Rx+双边序列例4：求序列的Ｚ变换，其中解：第一部分收敛域即第二部分收敛域即已知，所以||)(nanx1||a010|1||)(nnnnnnnnnnnnnnnzazazazazazX1||az||1||az1||1az||||az1||a||1||||,)1)(1(1111)(121azaazazaazazazzX２.２Ｚ反变换Ｚ反变换方法：围线积分法（留数法）、部分分式展开法、长除法１、部分分式法一般X(z)是有理分式，X(z)=B(z)/A(z)，B(z)和A(z)是z的实系数多项式，且无公因式；可把X(z)分解为部分分式之和，再求各部分分式的z反变换（基本Ｚ变换对的公式可查表2-1,p54),将各反变换相加即得x(n)若X(z)只有一阶极点，X(z)展成最好写成A0、Am分别为X(z)在z=0、z=zm极点处的留数kmmmzzzAAzX10)(kmmmzzAzAzzX10)()0(]0,)([Re0XzzXsAmzzmmmzzXzzzzzXsA])()[(],)([Re若X(z)含高阶极点：设X(z)含k个一阶极点，一个s阶极点zi，展成Br为srrirkmmmzzzBzzzAzX11)()(izzrsirsrsrzzXzzdzdrsB)()()!(1２、长除法x(n)的z变换为z-1的幂级数故在收敛域内将X(z)展成幂级数，则级数的系数即序列x(n)。一般X(z)是有理式，分子分母是z多项式；用分子除以分母得幂级数展开式，可得x(n)1）用收敛域判定右边序列，则展成负幂级数；分子分母按z降幂或z-1升幂排列；2）如是左边序列，则展成正幂级数；分子分母按z升幂或z-1降幂排列nnzxzxxzxznxzX21)2()1()0()1()()(例5：用两种方法求的Ｚ反变换．解：①部分分式法：右边序列|1|||,1)(azazazzX1111111111)(zazzaaazazzX)(1)1(1)1(1)(11)(111nuanuanuanuaanxnnnn②长除法x(n)是右边序列，X(z)按z降幂排列故23223212212223212212222]/)1[(]/)1[(]/)1[(]/)1[(111]/)1[(/)1(/)1(11zaazaazaazaazaazaaazaaaaaaazazaz)1(1)(11,1,1,1...)(13222nuanuaaaaaaanxnn２.３Ｚ变换的性质和定理（１）线性线性是比例性和可加性，若则其中，注意：1）即线性组合后收敛域为各序列z变换的公共收敛域;2）组合后零点和极点可抵消，收敛域可能扩大。xxRzRzXnx||)()]([yyRzRzYny||)()]([RzRzbYzaXnbynax||),()()]()([],max[yxRRR],min[yxRRR（２）序列的移位若序列x(n)的z变换则m为整数，m为正是延迟，m为负是超前。证：注意：1）双边序列移位后收敛域不变；2）单边序列在z=0或z=∞处收敛域可能变化xxRzRzXnx||)()]([xxmRzRzXzmnx||)()]([nkmkmnzXzzkxzzmnxmnxZ)()()()]([例6Z[δ(n)]=1，z平面处处收敛[0，∞]Z[δ(n-1)]=z-1，z=0处不收敛（0，∞]Z[δ(n+1)]=z，z=∞处不收敛[0，∞）（３）乘以指数序列（Ｚ域尺度变换）若则收敛域：可是复数说明：1）若X(z)在z=z1为极点，则X(a-1z)在z=az1为极点；2）若a为正实数，收敛域缩小或扩大，零极点在z平面沿径向移动；3）若a为复数，零极点既有模伸缩，又有角度旋转。故称为z域尺度变换。xxRzRzXnx||)()]([nnnnnnzaXzanxznxanxaZ)())(()()(11xxxxRazRaRzaR||||||||1或a（４）序列的线性加权序列x(n)z变换则证明：z变换在收敛域中处处解析所以xxRzRzXnx||)()]([xxRzRdzzdXznnxZ||)()]([nnnnnnnnnnxzznnxzznnxdzdznxznxdzddzzdX)]([)()()(])([)(111xxRzRdzzdXznnxZ||)()]([通过递推可以证明：式中)()()]([zXdzdznxnZmm)()(zXdzdzdzdzdzdzdzdzdzdzm（５）共轭序列若则（６）翻摺序列若则证：xxRzRzXnx||)()]([xxRzRzXnx||)()]([xxRzRzXnx||)()]([xxRzRzXnx||)()]([11nnnnnnzXznxznxznxnxZ)())(()()()]([11xxRzR||1（７）初值定理如果x(n)是因果序列，则证明：因为x(n)是因果序列，有所以(0)lim()zxXz021)2()1()0()()(nnzxzxxznxzXlim()(0)zXzx（８）终值定理若x(n)是因果序列；其z变换的极点除在z=1处可有一阶极点，其它极点均在单位圆内；则)()1(lim)(lim1zXznxzn证明：x(n)是因果序列，则因在单位圆上无极点，两端对z=1取极限nnznxnxzXz)()1()()1(mnmnzmxmxzXz1)()1(lim)()1()()1(zXz)(lim)1(lim)()1()1()2()0()1(0)0(lim)]()1([lim)()1(lim11nxnxnxnxxxxxxmxmxzXznnnnmnz（９）有限项累加特性设x(n)为因果序列，即x(n)=0,n0,若则xRznxZzX||)]([)(]1,max[||)(1])([0xnmRzzXzzmxZ（10）序列的卷积和（时域卷积和定理）若则xxRzRzXnx||)()]([hhRzRzHnh||)()]([hxhxRRzRRzHzXnhnxZ,min||,max)()()()(证：)()()()()()()()()()()()()(zHzXzHzmxzzmnhmxzmnhmxznhnxnhnxZmmmmnnmnnmnn例7：已知x(n)=anu(n)，h(n)=bnu(-n),|a||b|，求y(n)=x(n)*h(n)。解：由时域卷