_基本不等式及其应用

基本不等式及其应用1．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：.(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R)．(2)ba＋ab≥(a，b同号)．(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)．忆一忆知识要点a≥0，b≥0a＝b2ab2要点梳理3．算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：．4．利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最值是p24.(简记：和定积最大)忆一忆知识要点两个正数的算术平均数不小于x＝y它们的几何平均数大2P要点梳理[难点正本疑点清源]1．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式a＋b≥2ab，ab≤a＋b22，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤a2＋b22；a＋b2≥ab(a，b0)逆用就是ab≤a＋b22(a，b0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．例1已知x0，y0，z0.求证：yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8.利用基本不等式证明简单不等式由题意，先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质即可得证．证明∵x0，y0，z0，∴yx＋zx≥2yzx0，xy＋zy≥2xzy0，xz＋yz≥2xyz0，∴yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8yz·xz·xyxyz＝8.当且仅当x＝y＝z时等号成立．利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．探究提高例2(1)已知x0，求f(x)＝2＋4x＋x的最大值；(2)已知x1，求f(x)＝x＋1x－1的最小值；(3)已知0x25，求y＝2x－5x2的最大值．利用基本不等式求最值以上三个小题都不具备应用基本不等式求最值的三个条件，可将负数转化为正数，通过添项、拆项或变系数，使其积(或和)转化为定值．解(1)∵x0，∴－x0，∴f(x)＝2＋4x＋x＝2－4－x＋－x.∵－4x＋(－x)≥24＝4，当且仅当－x＝4－x，即x＝－2时等号成立．∴f(x)＝2－4－x＋－x≤2－4＝－2，∴f(x)的最大值为－2.(2)∵x1，∴x－10，∴f(x)＝x＋1x－1＝x－1＋1x－1＋1≥2x－1·1x－1＋1＝2＋1＝3.当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时，等号成立．∴f(x)的最小值为3.(3)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝15·5x·(2－5x)，∵0x25，∴5x2,2－5x0，∴5x(2－5x)≤5x＋2－5x22＝1，∴y≤15，当且仅当5x＝2－5x，即x＝15时，ymax＝15.利用基本不等式求最值时，必须注意三点：“一正，二定，三相等”，缺一不可．如果项是负数，可转化为正数后解决，当和(或积)不是定值时，需要对项进行添加、分拆或变系数，将和(或积)化为定值．探究提高(1)已知x0，y0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________．(2)已知ab0，则a2＋16ba－b的最小值是________．变式训练2(1)依题意，得(x＋1)(2y＋1)＝9，∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2x＋12y＋1＝6，即x＋2y≥4.当且仅当x＋1＝2y＋1，x＋2y＋2xy＝8，即x＝2，y＝1时等号成立．∴x＋2y的最小值是4.(2)∵ab0，∴b(a－b)≤b＋a－b22＝a24，当且仅当a＝2b时等号成立．∴a2＋16ba－b≥a2＋16a24＝a2＋64a2≥2a2·64a2＝16，当且仅当a＝22时等号成立．∴当a＝22，b＝2时，a2＋16ba－b取得最小值16.(14分)已知a、b均为正实数，且a＋b＝1，求y＝a＋1ab＋1b的最小值．易错警示基本不等式等号成立的条件把握不准致误学生解答展示错因分析上面解法显然是错误的，因为当a＝1，b＝1时，a＋b＝2，而已知中a＋b＝1.照这种解法，无论a＋b的值为多少，a＋1ab＋1b的最小值总是4，它错在两次利用基本不等式，等号不能同时成立，故y的最小值不可能是4.(1)求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基本不等式，必须保证“正、定、等”，而且还要符合已知条件．(2)可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围．审题视角规范解答解方法一y＝a＋1ab＋1b＝ab＋1ab＋ba＋ab≥ab＋1ab＋2＝ab＋1ab2＝4ab＋1ab－3ab2≥24ab·1ab－3×a＋b22＝4－322＝254.[10分]当且仅当a＝b＝12时，y＝a＋1ab＋1b取最小值，最小值为254.[14分]方法二y＝a＋1ab＋1b＝ab＋1ab＋ab＋ba＝ab＋1ab＋a2＋b2ab＝ab＋1ab＋a＋b2－2abab＝2ab＋ab－2.[8分]令t＝ab≤a＋b22＝14，即t∈0，14.又f(t)＝2t＋t在0，14上是单调递减的，[12分]∴当t＝14时，f(t)min＝334，此时，a＝b＝12.∴当a＝b＝12时，y有最小值254.[14分]批阅笔记(1)这类题目考生总感到比较容易下手．但是解这类题目却又常常出错．(2)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件：即一正、二定、三相等．否则求解时会出现等号成立条件不具备而出错．(3)本题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成立的条件．1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形．比如：(1)当x2时，x＋1x－2＝(x－2)＋1x－2＋2≥2＋2＝4.(2)0x83，x(8－3x)＝13(3x)(8－3x)≤133x＋8－3x22＝163.方法与技巧1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．失误与防范≥≥≥2222211ababababF1.不等式链(a0,b0)2abab21ab加权平均数调和平均数几何平均数算术平均数222abCFODCDDE≥≥≥要点梳理2.定理的变式≥22abab（）≥(3)2baab≥1(4)2aa(1)a2+b2≥2ab(a0,b0)(a、b同号）≤1(5)2aa(a＜0）(a0）(a、b∈R)4(1)R,xxx已知求的最值4(3)3,xxx≥已知求的最小值21(2),12xx≥已知时求的最小值探究：下面几道题的解答可能有错，如果错了,那么错在哪里？44:24xxxx≥解44:24,xxxx≥解22:1212,xxx≥解22.x其最小值为一不正，需变号二不定，要变形三不等，用单调已知条件(a0,b0)求解最大值、最小值4ab3ab2216ab____ab≤22_____ab≥____ab≥22____ab≥____ab≤____ab≤基本不等式基本题型486823422222ababab≥≥例1．求函数的最大值.201,log0.xx解：225.≤225()2log(01)logfxxxx225log,logxx当且仅当225()2loglogfxxx225lg[og2loxx]52.x即时等号成立max()225.fx一不正，需变号例2.求函数的最大值.当且仅当时取“=”号.154154xxx,即5142()454yxxx14245yxx解：5,450.4xx即当x=1时,函数的最大值为1.二不定，要变形1453.45xx1[(45)]345yxx231.≤依据:利用函数(t0)的单调性.1yttt∈(0,1]单调递减,t∈[1,+∞)单调递增.解:222251444xxyxx22144xx24,tx令≥1(2)yttt则min52,:0,.2txy当即时2254xyx例3.求函数的最小值.在[1,+∞)上单调递增.三不等，用单调≥322.当且仅当2,yxxy即2yx时取“=”号.而2,21,yxxy122222xymin322.y解11:xy22xyxyxy23yxxy“1”代换法例4.已知正数x,y满足2x+y=1,求的最小值.11xy当时21,,2222xy