第四章 随机变量的数字特征(第十六讲)

§2方差第四章随机变量的数字特征（第十六讲）•方差的定义•方差的性质•契比雪夫不等式退出前一页后一页目录一、方差的定义§2方差第四章随机变量的数字特征在实际问题中常关心随机变量与均值的偏离程度，可用E|X-EX|，但不方便；所以通常用2)()(EXXEXVarDX.称为标准差DX设X是随机变量，若存在，2)(EXXE12)(iiipEXxdxxfEXxDX)()(22)(EXXEDX2)EXX(E来度量随机变量X与其均值EX的偏离程度。称其为随机变量X的方差，记作DX,或Var(X)，即：1）定义：离散型：连续型：退出前一页后一页目录第四章随机变量的数字特征22EXEXDX证明：2EXXEDX222EXXEXXE222EXEXEXEX2222EXEXEX22EXEX2）方差公式：注：方差描述了随机变量的取值与其均值的偏离程度。由此式还可得：22EXDXEX退出前一页后一页目录§2方差第四章随机变量的数字特征：的射击水平由下表给出甲、乙两人射击，他们：甲击中的环数；X：乙击中的环数；Y平较高？试问哪一个人的射击水例1X8910P0.30.20.5Y8910P0.20.40.4退出前一页后一页目录§2方差第四章随机变量的数字特征解：．比较两个人的平均环数甲的平均环数为5.0102.093.08EX环2.9乙的平均环数为4.0104.092.08EY环2.9环数的方差分别为一样的，但两个人射击是，甲乙两人的射击水平因此，从平均环数上看例1（续）退出前一页后一页目录§2方差第四章随机变量的数字特征5.02.9102.02.993.02.98222DX76.04.02.9104.02.992.02.98222DY624.0，由于DXDY甲稳定．这表明乙的射击水平比例1（续）退出前一页后一页目录二、方差的性质第四章随机变量的数字特征证3）：2)EXX(EDX.)()22DXccXD.0,0)1DccDX是常数，则若),)((2)()322EYYEXXabEDYbDXabYaXD相互独立，若YX,)bYaX(D2)]([bYaXEbYaXE2)]()([EYYbEXXaE)])(([2])([])([2222EYYEXXabEEYYbEEXXaE))((222EYYEXXabEDYbDXa.)(22DYbDXabYaXD则退出前一页后一页目录第四章随机变量的数字特征称Y是随机变量X的标准化了的随机变量。DXEXXY/)(令：0))((EYYEXXE)(bYaXD故：))((222EYYEXXabEDYbDXa.22DYbDXa独立，则若YX,.,1}{04EXccXPDX）则EY=0,DY=1。性质4）的证明将在后面给出。退出前一页后一页目录§2方差第四章随机变量的数字特征例14，且相互独立。设]1,0[~,UYX解：.,0,10,1)(其它xxfX.,0,10,10,1),(其它yxyxfxy011.,0,10,1)(其它yyfY.|||,|YXDYXE求：退出前一页后一页目录第四章随机变量的数字特征100)(2xdyyxdx1022)2(2dxxx31YXD先求：2YXE||YXE101000)()(yxdxxydydyyxdxxy0xy11dxdyyxfyx),(||2dxdyyxfyx),(||1010||dxdyyx22)(YXEYXE例14（续）退出前一页后一页目录§2方差第四章随机变量的数字特征61)2(101022dxdyyxyx22)(YXEYXEYXD则：181)31(61210102)(dxdyyx10102||dxdyyx退出前一页后一页目录第四章随机变量的数字特征三、定理：（契比雪夫不等式）)Chebyshev(不等式,EX||22)(||xdxxfx}|{|XP||)(xdxxfdxxfx)()(122222DX则对任意,0;/}|{|22XP有./1}|{|22XP设随机变量X有数学期望,2DX方差证明：(只证X是连续型)退出前一页后一页目录例如：在上面不等式中，取，有：4,3§2方差第四章随机变量的数字特征22/1}|{|XP这个不等式给出了随机变量X的分布未知情况下，事件}|{|X8889.0}3|{|XP9375.0}4|{|XP的概率的一种估计方法。退出前一页后一页目录§2方差第四章随机变量的数字特征例15,600粒种子中的良种数表示设X.6561600,61600DXEX}12100-XP{设种子的良种率为1/6，任选600粒，试用切比晓夫（Chebyshev）不等式估计：这600粒种子中良种所占比例与1/6之差的绝对值不超过0.02的概率。02.061600XP由切比晓夫不等式有02.0600100-XP2121DX4213.014465616001).61,600(~BX则解：22/1}|{|XP退出前一页后一页目录§2方差第四章随机变量的数字特征不等式证明：利用Chebyshev．，则若10EXXPDX证明：0EXXPEXXP0EXXP01EXXP0EXXP而11nnEXXP不等式，得由概率的非负性及Chebyshev例1611nnEXXP退出前一页后一页目录§2方差第四章随机变量的数字特征nEXXP10001nEXXP所以，，，21n00001nEXXP所以，00EXXP所以，．因此，1EXXP例16（续）我们有：由此例及方差的性质，为常数CCXP1的充分必要条件为．0DX21nDX退出前一页后一页目录§2方差第四章随机变量的数字特征小结：1）方差的定义；2）方差的性质；3）切比晓夫不等式。),)((2)(22EYYEXXabEDYbDXabYaXD退出前一页后一页目录第四章随机变量的数字特征§3.几种重要随机变量的数学期望及方差•两点分布•二项分布•泊松分布•均匀分布•正态分布退出前一页后一页目录第四章随机变量的数字特征pppXk1102）二项分布1）两点分布22)(EXEXDX,pEXpqpp2§3几种期望与方差方法1：.,,2,1,}1{,}0{nipXPqXPii则的两点分布，独立，都服从参数为相互设pXXn,,1nXXX1令,),(~pnBX则退出前一页后一页目录第四章随机变量的数字特征nkqpCkXPknkkn,,0,}{，niiXEEX1)(niiDXDX1所以niniipEX11np.1npqpqni方法1说明了二项分布与两点分布的关系。即§3几种期望与方差退出前一页后一页目录§3几种期望与方差第四章随机变量的数字特征方法2：nkqpCkXPknkkn,,1,0,}{nkknkknqpCkEX0nkknkqpknknk0)!(!!nkknkqpknknnp1)1(11))!1(1()!1()!1(nkknkknqpCnp1)1(11111011niiniinqpCnpnpqpnpn1)(退出前一页后一页目录第四章随机变量的数字特征nkknkknqpCk02nkknkqpknknk02)!(!!nkknkqpknknkp11)!()!1(!nkknknkknkqpknknpqpknknkp1111)!()!1(!)!()!1(!)1(nkknkqpknknkEX0)!(!!2EX退出前一页后一页目录§3几种期望与方差第四章随机变量的数字特征npqpknknpnnnkknk2)2(222))!2(2()!2()!2()1(npqppnnn22)()1(npnppn222DX22)(EXEX22222pnnppnpnnpqpnp)1(退出前一页后一页目录§3几种期望与方差第四章随机变量的数字特征3）泊松分布,2,1,0,!}{kekkXPk设X服从参数为的泊松分布，EX11)!1(kkkeee0!kkekk退出前一页后一页目录§3几种期望与方差第四章随机变量的数字特征2EX1)!1(kkekk11)!1()!1()1(kkkkekekkeekekk222)!2(2DX2202!kkekk22)(EXEX退出前一页后一页目录§3几种期望与方差第四章随机变量的数字特征4）均匀分布.,0,),/(1)(其它bxaabxfEXbadxabx12baDX22)2(1badxabxba12)(2abdxxxf)(22)(EXEX退出前一页后一页目录§3几种期望与方差第四章随机变量的数字特征5）正态分布xexfx,21)(222)(，dxexEXx222)(21dtetEXt22)(21则dtedttett222222作变换tx退出前一页后一页目录§3几种期望与方差第四章随机变量的数字特征2)(XEDX)(,21)(222)(2txdxexxdtett22222dtett222222222ttdedtetett2222222|22121222dtetDXt说明：则若),1,0(~NX退出前一页后一页目录)()()1()1(9544.01)2(29974.01)3(2第四章随机变量的数字特征}2|{|XP}3|{|XP}|{|XP}{XP6826.01)1(2}22{XP}33{XP退出前一页后一页目录第四章随机变量的数字特征§3几种期望与方差注意：在上一节用切比晓夫不等式估计概率有因此，对于正态随机变量X来说，它的值落在区间]3,3[9974.0}33{XPx033)(xf8889.0}3|{|XP内几乎是肯定的。退出前一页后一页目录第四章随机变量的数字特征§3几种期望与方差要求：熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布的期望值和方差值。退出前一页后一页目录第十六讲结束，谢谢！退出前一页后一页第四章随机变量的数字特征§3几种期望与方差目录