3.2立体几何中的向量方法课件 (共43张PPT)

平面向量空间向量推广到立体几何问题(研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形)向量渐渐成为重要工具从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.前面,我们把。＋＝，使，实数对共面的充要条件是存在与向量不共线，则向量如果两个向量byaxpyx,p,baba共线向量定理:复习：共面向量定理:0//aabbabb对空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数，使＝。思考1：1、如何确定一个点在空间的位置？2、在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？3、给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？4、给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？OPOPOPP在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示。我们把向量称为点的位置向量。OP一、点的位置向量aABP二、直线的向量参数方程对于直线l上的任一点P,存在实数t使得APtAB(1，）OPOAtaOPxOAyOBxy此方程称为直线的向量参数方程。这样点A和向量不仅可以确定直线l的位置，还可以具体写出l上的任意一点。a空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定.lPbaOOPxayb空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定.对于平面上的任一点P,存在有序实数对(,)xy,使得除此之外,还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.n这样，点O与向量不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出内的任意一点。ab、三、平面的法向量A平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，如果⊥，那么向量叫做平面的法向量.nnnn给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.nn几点注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有0nmnmnl问题：如何求平面的法向量？),,()1(zyxn设出平面的法向量为),,(),,,()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,,)3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(nxyz解：设平面的法向量为（，，），(2,2,1)0(4,5,3)0,nABnACxyzxyz则，（，，），（，，）220,4530xyzxyz即1121xzy取，得1(,1,1),2n因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？思考2：设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则l∥ma∥bakb；线面平行∥u∥v.ukv注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.线线平行l∥au0au；面面平行四、平行关系：111222(,,),(,,),laabcuabc设直线的方向向量为平面的法向量为则121212//00;lauaabbcc[难点正本疑点清源]1.直线的方向向量实质上是与直线平行的非零向量，它有无数多个，平面的法向量也有无数个.2.利用空间向量解决立体几何中的平行问题1证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量，但要注意说明这两条直线不共线.2证明线面平行的方法①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，但要说明直线不在平面内.②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线，也要说明直线不在平面内.③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.同时要注意强调直线不在平面内.设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则线线垂直线面垂直⊥u⊥v.0vul⊥ma⊥b0ab；l⊥a∥uaku；面面垂直五、垂直关系：111222222,,0,//abcabcauabc当时111222(,,),(,,),aabcuabc若则121212//,,.lauakuakabkbckc基础自测1.两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝1，0，－1，v2＝－2，0，2，则l1与l2的位置关系是A.平行B.相交C.垂直D.不确定解析∵v2＝－2v1，∴v1∥v2.A2.已知平面α内有一个点M1，－1，2，平面α的一个法向量是n＝6，－3，6，则下列点P中在平面α内的是A.P2，3，3B.P－2，0，1C.P－4，4，0D.P3，－3，4解析∵n＝6，－3，6是平面α的法向量,∴n⊥MP，在选项A中，MP＝1，4，1，∴n·MP＝0.A4.已知a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是()A.a∥c，b∥cB.a∥b，a⊥cC.a∥c，a⊥bD.以上都不对解析∵c＝(－4，－6，2)＝2(－2，－3，1)＝2a，∴a∥c，又a·b＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a⊥b.C题型分类深度剖析题型一利用空间向量证明平行问题例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.证明方法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M0，1，12，N12，1，1，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是MN＝12，0，12，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．则n·1DA=0且n·DB→＝0，得x＋z＝0，x＋y＝0.取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又MN·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.方法二MN＝C1N→－C1M→＝12C1B1→－12C1C→=12(D1A→－D1D→)＝12DA1→，∴MN∥DA1→，又∵MN与DA1不共线，∴MN∥DA1，又∵MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.探究提高用向量证明线面平行的方法有：(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示；(4)本题易错点为：只证明MN∥A1D，而忽视MN⊄平面A1BD.变式训练1如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG.证明∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形，∴AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)．PB→＝(2,0，－2)，FE→＝(0，－1,0)，FG→＝(1,1，－1)，设PB→＝sFE→＋tFG→，即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，∴t＝2，t－s＝0，－t＝－2，解得s＝t＝2.PB→＝2FE→＋2FG→，又∵与FE→与FG→不共线，∴PB→、FE→与FG→共面．∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.题型二利用空间向量证明垂直问题例2如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.思维启迪：建立适当的空间直角坐标系，利用向量坐标证明．证明∵AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．(1)∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形．∴C12，32，0，E14，34，12.设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得ACCD＝0，即y＝233，则D(0，233，0),∴CD＝(－12，36，0).又AE＝(14，34，12)，∴AECD＝113302464，即AE⊥CD，即AE⊥CD.(2)方法一∵P(0,0,1)，∴PD＝0，233，－1.又AE·PD＝34×233＋12×(－1)＝0，∴PD⊥AE，即PD⊥AE.∵AB＝(1,0,0)，∴PD·AB＝0，∴PD⊥AB，又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面AEB.方法二设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，∵AB＝(1,0,0)，AE＝14，34，12，∴n·AB＝0n·AE＝0，即x＝014x＋34y＋12z＝0，令y＝2，则z＝－3，∴n＝(0,2，－3)．∵PD＝0，233，－1，显然PD＝33n.∵PD∥n，∴PD⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.探究提高证明线面平行和垂直问题，可以用几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直角坐标系，其证法较为灵活方便.变式训练2在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，E、F分别为棱AD、PB的中点，且PD＝AD.求证：平面CEF⊥平面PBC.证明如图建系，设A(1,0,0)，P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，则E12，0，0，F12，12，12，设平面CEF的一个法向量为n1＝(x，y，z)．则1100EFECnn⇒12y＋12z＝0－12x＋y＝0，取x＝1，则n1＝1，12，－12，同理，平面PBC的一个法向量为n2＝0，12，12，∵n1·n2＝1×0＋12×12－12×12＝0，∴n1⊥n2.∴平面CEF⊥平面PBC.题型三利用空间向量解决探索性问题例3如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝12AD＝1.(1)求证：面PAC⊥面PCD；(2)在棱PD上是否存在一点E，使CE∥面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．思维启迪：(1)可以用几何法，也可以用向量法．(2)利用向量法一般比较方便．(1)证明∵PA⊥面ABCD，∴PB与面ABCD所成的角为∠PBA＝45°.∴AB＝1，由∠ABC＝∠BAD＝90°，易得CD＝AC＝2，由勾股定理逆定理得AC⊥CD.又∵PA⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥面PAC，CD⊂平面PCD，∴平面PAC⊥平面PCD.(2)解分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设E(0，y，z)，PE＝(0，y，z－1)，PD＝（0，2，－1)，PE∥PD,∴y·(－1)－2(z－1)＝0①∵AD＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，又CE＝(－1，y－1，z)，CE∥面PAB.CE⊥AD→.∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0，∴y＝1.将y＝1代入①，得z＝12.∴E是PD的中点，∴存在E点使CE∥面PAB，此