一次函数知识框架

1第19章—一次函数知识点一：常量与变量1.一辆火车从甲地开往乙地，火车每小时走60km．常量：速度、甲乙两地的路程变量：火车所走的路程，行驶的时间2.在圆周长公式2Cr中，变量是，自变量是．知识点二：函数的意义一般地，设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值与它对应，我们称y是x的函数，其中：x是自变量，y是因变量．(1)在理解函数的意义时要抓住三点：①有一个反映变化的过程．②有两个变量x和y．③变量x一旦变化，变量y都有唯一值与它对应．(2)在表示函数时，如果要把y表示成x的函数，其实就是用含x的代数式表示y．例题：1.设路程为s，时间为t，速度为v，当v=80时，路程和时间的函数关系式为．2.下列图象中，表示y是x的函数的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列关于变量x.y的关系：①55yx；②xy；③1022yx其中表示y是x的函数关系的是()A.①②③B.①②C.①③D.②③4.一支蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）的函数关系的图象是（）A.B.C.D.2知识点三：函数中自变量的取值范围及函数值在一个变化过程中，自变量的取值通常有一定的范围，这个范围我们叫它为自变量的取值范围．确定自变量的取值范围通常要从两个方面考虑：①使含自变量的代数式有意义．②结合实际意义，使函数在实际情况下有意义．例题：1.在函数y＝x2中，自变量x的取值范围是．2.函数13yx中，自变量x的取值范围是．3.函数3yx中，自变量x的取值范围是．4.函数23xyx中，自变量x的取值范围是．5.小宝阅读600页的图书，每天读50页，求余下的页数y与所读天数x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．6.已知函数3213xxy，当1x时，y=，当y=0时，x；7.已知函数13)(2xxf，那么)2(f＝．8.已知函数221xy，当11-x时，y的取值范围是（）A.25＜y23B.23＜y＜25C.23y＜25D.23＜y25知识点四：函数的图像（难点）对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形叫做函数的图象。（1）函数图象上的任意一点Pyx,中的x，y满足关系式（2）满足函数关系式的任意一对x，y的值所对应的点一定在函数的图象上。例题：1.如下左图，小亮在操场上玩，一段时间内沿M-A-B-M的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图象是（）yxOA．B．C．D．32.周末上午8时，小明先去小华家，两人再一起去超市购物，到下午2时返回小明家．结合图象回答：（1）两人在超市购物花了多长时间？（2）超市离家是多远？（3）两人返回时的平均速度是多少？（4）小明何时离自己家10千米远？知识五：正比例函数定义形如(0)ykxk的函数叫正比例函数。注意：（1）0k（2）自变量x的指数为1例题：1.下列函数中，是正比例函数的是（）A.22yxB.2yxC.2(3)yxD.2(0,ykxkk为常数）2.（易错）当m=时，2(2)mymx是正比例函数．3.下列各选项中，成正比例关系的是（）A.人的升高与体重B.正方形的面积与它的边长C.买同一种练习本所需钱数和所买的本数D.从甲地到乙地，所用时间和行驶的速度知识点六：正比例函数的图像和性质（重点）（1）图象：正比例函数(0)ykxk的图象是经过原点的直线。由于正比例函数图象是过原点的直线，而两点确定一条直线，因此，画ykx的图象时，除原点外，只要再确定一个点即可。（2）性质：当0k时，直线ykx经过第一.三象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当0k时，直线ykx经过第二.四象限，从左向右下降，即随x的增大y而减小；例题：41.正比例函数(0)ykxk必经过点．2.某函数具有下列两条性质：（1）它的图象经过点（0，0）的一条直线；（2）y的值随x的增大而减小，请你举出一个满足上述两个条件的函数（用关系式表示）．3.已知21yyy，1y与x成正比例，2y与1x成正比例，且3x时，4y；1x时，2y，求y与x之间的函数关系式．4.东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x（个）之间的函数关系式是．5.若关于x的函数1(1)mynx是一次函数，则m=，n.6.若函数y=（m-5）x+（4m+1）x2（m为常数）中的y与x成正比例，则m的值为（）（A）m-14（B）m5（C）m=-14（D）m=57.一个正比例函数的图象经过点（2，-3），它的表达式为（）A．32yxB.23yxC.32yxD.23yx8.已知函数2yx，下列说法中错误的是（）A．函数经过第二.四象限B.y的值随x的增大而增大C．原点在函数的图象上D.y的值随x的增大而增小9.已知正比例函数(31)ykx，若y随x的增大而增大，则k的取值范围是（）A．0kB．0kC．31kD．31k10.（难点）已知正比例函数(21)ymx图象上的两点A11(,)xy，B22(,)xy，当12xx时，有12yy，那么m的取值范围是（）A．2mB.12mC.12mD.0m11.已知y-3与x成正比例，且4x时，y=7，（1）写出y与x之间的函数关系式（2）计算9x时，y的值（3）计算y=2时，x的值（4）若点（a，0）在这个函数图象上，求a的值知识点七：一次函数的定义5（1）定义：一般的，形如ykxb(,0kbk是常数，）的函数，叫一次函数。（2）一次函数中自变量的取值范围是全体实数（3）正比例函数和反比例函数的区别与联系当0b时，ykxb变为ykx，所以说，正比例函数是一种特殊的一次函数。正比例函数一定是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数。（4）待定系数法求一次函数解析式要确定一次函数ykxb中的常数k和b，一般的求解方法是待定系数法。即先设出函数的表达式，在由已知条件列出关于k，b的二元一次方程组，通过方程组确定k和b，从而确定解析式。例题：1.函数34yx，74yx，21yx，22yx中，一次函数有（）A．1个B.2个C.3个D.4个2.下列说法正确的是（）A．正比例函数是一次函数B．一次函数是正比例函数C．正比例函数不是一次函数D．不是正比例函数就不是一次函数3.下列给出的四个点中，不在直线32xy上的是（）A.(1，-1)B.(0，-3)C.(2，1)D.(-1，5)4.（难点）对于函数(3)3(ykxkk为常数），当k=时，它是正比例函数；当k=时，它是一次函数。5.根据右图所示的程序计算函数值，若输入的x值为1.5，则输出的结果为（）A.3.5B.1.5C.0.5D.-0.5知识点八：待定系数法（考点）例题：1.已知点A（2a，a1）在函数12xy的图像上，则a=；2.设点P（3，m），Q（n，2）在函数bxy+=的图像上，则m+n=______．3.已知一次函数的图象经过（-4，15），（6，-5）两点，求此一次函数的解析式．知识点九：一次函数图像和性质（重点）6（1）一次函数的图象是一条直线，所以一次函数ykxb的图象也称为直线ykxb。（2）一次函数必过点（0，b）和点(,0)bk，所以在画一次函数图象时可选取这两个特殊点进行画图。（3）一般地，一次函数具有下列性质：当0k时，y随x的增大而增大当0k时，y随x的增大而减小。例题：1.一次函数15yx的图象经过点（0，）与点（，0），y随x的增大而．2.（易错）已知函数2kxy，当k取不同的数值时，可以得到许多不同的直线，这些直线必定（）A.交于同一个交点B.有无数个交点C.互相平行D.互相垂直3.（易错）已知函数bxy2，当b取不同的数值时，可以得到不同的直线，这些直线必定（）A.交于同一个交点B.有无数个交点C.互相平行D.互相垂直4.已知一次函数ykxk，若y随x的增大而减小，则该函数的图象经过（）A.第一.二.三象限B.第一.二.四象C.第二.三.四象限D.第一.三.四象限5.若一次函数kxky21的函数值y随x的增大而增大，且一次函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是（）A.21kB.0kC.210kD.210kk或6.（难题）若一次函数mxmy23)12(的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是．7.已知实数a，b，c满足bcacabkabc(0cba)那么kkxy-的图像一定不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第二象限8.一次函数nmxy的图像经过二、三、四象限，则化简22nnm所得的结果是（）A.mB.-mC.2m-nD.m-29.已知点1(x，1y和点2(x，2y都在直线221xy上，若1x＞2x，则1y，2y的关系是（）A.1y＞2yB.1y=2yC.1y＜2yD..不能比较10.（难题）.两个一次函数baxy1与abxy2，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（）7A.B.C.D.11.已知直线bkxy与直线73xy关于原点对称，求k、b的值．12.若直线bkxy-（k＜0）过点（-2，5），则不等式5-bkx的解集是．13.如图，直线bkxy与直线mxy相交于点A（-1，2），与x轴相交于点B（-3，0），则关于x的不等式组mxbkx0的解集为．14.已知直线2kxy（k0）与两坐标轴围成的三角形面积为2，则k的值是．15.（难题）已知一次函数bxay)1(的图象如图所示，则下列正确的是（）A.0b1a＞、＞B.0b1a＞、＜C.0b0a＞、＞D.0b0a＜、＜16.(易错)一次函数26yx的图象与两坐标轴交于点A，B，则ABCΔ的面积等于（）A．12B.9C.18D.2417.已知点A、B在一次函数bkxy（k、b为常数，且0k）的图象上，点A在第一象限，点B在第二象限，则下列判断一定正确的是（）A.0k＜B.0k＞C.0b＜D.0b＞18.一次函数bkxy的图像与x，y轴分别交于点A（2，0），B（0，4），O为坐标原点，设OA，AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，当PC+PD取最小值时，P点坐标为，此时，PC+PD=．第14题第15题第18题19.(难题）如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是（）A.10B.16C.18D.208知识点十：一次函数的图像平移（考点）例题：1.在同一直角坐标系内，直线5ymx=+可由直线23yx=--向下平移得到，m=．2.一次函数23yx=-的图象向上平移4个单位得到的函数解析为，向下平移2个单位得到的函数解析式为，再向平移个单位得到函数52xy．3.将一次函数向左平移32xy的图象向左平移2个单位后，得到的图像解析式是，然后再向右平移4个单位后，得到的图像解析式是．4.直线m:22xy是直线n向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而a2，7在直线n上，则a=__________．5.要得到4-23xy的图像，可把直线xy23（）A.向左平移4个单位B.向右平移4个单位C.向上平移4个单位D.向下平移4个单位知识点十一：一次函数与一元一次方程（重点难点）(1)任何一元一次方程都可以转化为0kxb(,0)aba为常数，的形式(2)解一元二次方程可以转化为：①ykxb的值为0时，求相应的自变量的值bxa；②从图形上看，这相当于一只直线yaxb，确定它与x轴交点的横坐标的值。(3)利用函数图象解一元一次方程的步骤：①画出一