1.2函数的极限1―函数极限的概念

1.2函数的极限1——函数极限的概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”(1)割圆术：——刘徽函数极限的概念1、概念的引入三国时的刘徽提出的的方法.他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、···这样继续分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长.“割圆求周”割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.正三角形正六边形正十二边形刘徽割圆术:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”直径为1的圆：12345678…项号边数内接多边形周长241263授课教师：刘海滨2.5980762113533.0000000000003.1058285412303.132628613281483.139350203047963.1410319508911923.1414524722853843.141557607912……………nnc0180sin直径为1R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正形的面积126nnA,,,,,321nAAAAS战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话:一尺之棰日取其半万世不竭.(2)截丈问题：庄周1战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话：一尺之棰日取其半万世不竭.nanbna：剩余的长度nb：截去的总长度0214387nb0814183218543871x1nanb02143871234nn从1的左侧无限趋近1是什么？的变化趋势分别和的无限增大，随着项数nnban0814183218543871xna从0的右侧无限趋近0表示的点的变化趋势和nnba121n1211n第二节函数的极限一、函数极限的概念对于函数f(x)的极限问题，自变量的变化过程主要有以下两种情况：（1）自变量的绝对值无限增大，即x→∞；（2）自变量趋向于某一确定的点x0，即x→x0.1.x→∞时函数f(x)的极限例1考察当x→∞时，函数𝑓𝑥=1𝑥的变化趋势.解由图1-6可以看出，当x的绝对值无限增大时，的值都无限地接近于常数0.图1-6对于这种情况，我们给出下面的定义：定义1.9如果当x的绝对值无限增大（即x→∞）时，函数f(x)无限接近于一个确定的常数A，那么A就叫做函数f(x)当x→∞时的极限，记作lim𝑥→∞𝑓𝑥=𝐴(或当𝑥→∞时，𝑓𝑥→𝐴)如果当x→+∞时，函数f(x)无限接近于一个确定的常数A，则称A为函数f(x)当x→+∞时的极限，记作lim𝑥→+∞𝑓𝑥=𝐴(或当𝑥→+∞时，𝑓𝑥→𝐴)如果当x→-∞时，函数f(x)无限接近于一个确定的常数A，则称A为函数f(x)当x→-∞时的极限，记作lim𝑥→−∞𝑓𝑥=𝐴(或当𝑥→−∞时，𝑓𝑥→𝐴)于是，由例1图可以看出lim𝑥→∞1𝑥=lim𝑥→+∞1𝑥=lim𝑥→−∞1𝑥=0定理1.1lim𝑥→∞𝑓𝑥=𝐴的充分必要条件是lim𝑥→+∞𝑓𝑥=lim𝑥→−∞𝑓𝑥=𝐴例2求lim𝑥→−∞𝑒𝑥和lim𝑥→+∞𝑒−𝑥解由图1-7可知lim𝑥→−∞𝑒𝑥=0，lim𝑥→+∞𝑒−𝑥=0图1-72.x→x0时函数f(x)的极限为了研究方便，下面介绍邻域的概念.定义1.10设δ是任一正数，区间(x0-δ，x0+δ)叫做点x0的δ邻域，记作U(x0，δ)，其中x0叫做邻域中心，δ叫做邻域半径.去掉邻域中心的邻域叫做去心邻域.x→x0表示x无限趋近于定值x0（x≠x0），它包含三种情况：(1)x从大于x0的一侧趋近于x0，记作x→x0+；(2)x从小于x0的一侧趋近于x0，记作x→x0-；(3)x从x0的两侧趋近于x0，记作x→x0.例3考察当x→3时，函数𝑓𝑥=𝑥3+1的变化趋势.解由图1-8可以看出：图1-8当x从3的左侧无限接近于3时，记为x→3-，例如x取2.9，2.99，2.999，…，→3时，对应的函数f(x)取值为1.97，1.997，1.9997，…，→2.当x从3的右侧无限接近于3时，记为x→3+，例如x取3.1，3.01，3.001，…，→3时，对应的函数f(x)取值为2.03，2.003，2.0003，…，→2.由此可知，当x→3时，函数𝑓𝑥=𝑥3+1的值无限接近于2.对于函数的这种变化趋势，给出如下定义：定义1.11设函数y=f(x)在x0的某邻域内有定义(x0可以除外)，如果当x无限趋近于定点x0（x可以不等于x0）时，函数值无限趋近于一个确定的常数A，那么A就叫做函数y=f(x)当x→x0时的极限.记作lim𝑥→𝑥0𝑓𝑥=𝐴(或当𝑥→𝑥0时，𝑓𝑥→𝐴)需要注意：函数在点x0的极限状况与函数在该点是否有定义及如何定义无关.如果当x→𝑥0−时，函数值无限趋近于一个确定的常数A，那么A就叫做函数y=f(x)当x→x0时的左极限.记作lim𝑥→𝑥0−𝑓𝑥=𝐴(或当𝑥→𝑥0−时，𝑓𝑥→𝐴)如果当x→𝑥0+时，函数值无限趋近于一个确定的常数A，那么A就叫做函数y=f(x)当x→x0时的右极限.记作lim𝑥→𝑥0+𝑓𝑥=𝐴(或当𝑥→𝑥0+时，𝑓𝑥→𝐴)3.x→x0时函数f(x)的左极限与右极限例3考察当x→3时，函数𝑓𝑥=𝑥3+1的变化趋势.解由图1-8可以看出：图1-8解：函数𝑓𝑥=𝑥3+1当𝑥→3时的左极限为lim𝑥→3−𝑓𝑥=lim𝑥→3−（𝑥3+1）=2，右极限为lim𝑥→3+𝑓𝑥=lim𝑥→3+（𝑥3+1）=2，即lim𝑥→3−𝑓𝑥=lim𝑥→3+𝑓𝑥=2它们都等于函数𝑓𝑥=𝑥3+1当𝑥→3时的极限定理1.2lim𝑥→𝑥0𝑓𝑥=𝐴的充分必要条件是lim𝑥→𝑥0−𝑓𝑥=lim𝑥→𝑥0+𝑓𝑥=A例6讨论当x→0时，函数𝑓𝑥=𝑥,𝑥≥0−𝑥,𝑥0的极限.图1-9解:由图1-9可以看出：lim𝑥→0−𝑓𝑥=lim𝑥→0−(−𝑥)=0lim𝑥→0+𝑓𝑥=lim𝑥→0+𝑥=0∴lim𝑥→0𝑓𝑥=0例7讨论当x→0时，函数𝑓𝑥=𝑥−1,𝑥00,𝑥=0𝑥+1,𝑥0的极限.由图像可知，•lim𝑥→0−𝑓𝑥=lim𝑥→0−𝑥−1=−1lim𝑥→0+𝑓𝑥=lim𝑥→0+𝑥+1=1lim𝑥→0−𝑓𝑥≠lim𝑥→0+𝑓𝑥∴lim𝑥→0𝑓𝑥不存在图1-10解：作函数图像，如图1-10，