分类加法计数原理与分步乘法计数原理(公开课)

计数原理实际问题从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路，问：从甲地到丁地有多少种走法？要回答这个问题，就要用到计数的两个基本原理分类计数原理与分步计数原理．导入新课甲地乙地丙地丁地问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：3＋2＝5（种）分类计数原理与分步计数原理1、分类计数原理（加法原理）做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。有60种取法。因此取法种数共有40+60=100（种）例1：两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中任取一个球，有多少种取法？解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里取一个白球有40种取法；另一类是从装红球的袋子里取一个红球40个60个问题2：如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?A村B村C村北南中北南解：从A村经B村去C村有2步,第一步,由A村去B村有3种方法,第二步,由B村去C村有3种方法,所以从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的方法。问题3：用前6个大写英文字母和1~9个阿拉伯数字,以A1,A2,,B1,B2的方式给教室的座位编号.A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A99种B1234567899种6×9=542、分步计数原理做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。（乘法原理）例2：两个袋子里分别装有40个红球与60个白球，从中取一个白球和一个红球，有多少种取法？60个40个解：取一个白球和一个红球可以分成两步来完成：第一步从装白球的袋子里取一个白球，有60种第二步从装红球的袋子里取一个红球，有40种共60*40=2400一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的密码数是多少?首位数字是0的密码数又是多少?分析:按密码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位,需分为三步完成;第一步,m1=10;第二步,m2=10;第三步,m3=10.根据乘法原理,共可以设置N=10×10×10=103种三位数的密码。练习加法原理乘法原理联系区别一完成一件事情共有n类办法，关键词是“分类”完成一件事情,共分n个步骤，关键词是“分步”区别二每类办法都能独立完成这件事情。每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事情，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每个步骤完成了，才能完成这件事情。分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题。区别三各类办法是互斥的、并列的、独立的各步之间是相关联的分类计数与分步计数原理的区别和联系：……ABm1m2mn…...ABm1m2mn点评:乘法原理看成“串联电路”加法原理看成“并联电路”;1、从5名同学中选出正副班长各一名，则不同的任职方案有多少种？2、三层书架上，上层放着10本不同的语文书，中层放着9本不同的数学书，下层放着8本不同的英语书，（1）从书架上任取一本，有多少种取法？（2）从书架上任取语数外各一本，有多少种取法？3、在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？4．某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到5楼共有多少种不同的走法？判断下列用分类还是分步原理，并说出式子分步5×4分类10+9+8分步10×9×8分类(按十位分)8+7+6+5+4+3+2+1分步3×3×3×3例3：某班级有男三好学生5人,女三好学生4人(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？例4：某城市电话号码由8位组成，其中从左边算起的第1位只用6或8，其余7位可以从前10个自然数0，1，2，…,9中任意选取，允许数字重复。试问：该城市最多可装电话多少？1、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？练习14+3+2=9（种）4×3×2=24（种）2、由数字1，2，3，4，5，6可以组成多少个四位数？（各位上的数字不重复）6×5×4×3=360（个）3、一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？10×10×10×10=104有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用．一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理．请看下面的例题：注意实际问题从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路，问：从甲地到丁地有多少种走法？甲乙丙丁如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条?A1B1C1D1ACDB练习解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,第一类,m1=1×2=2条第二类,m2=1×2=2条第三类,m3=1×2=2条所以,根据加法原理,从顶点A到顶点C1最近路线共有N=2+2+2=6条。A1B1C1D1ACDB1．有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书5本．从其中取出不是同一国文字的书2本，问有多少种不同的取法？2．集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4}．从A,B中各取1个元素作为点P(x,y)的坐标．（1）可以得到多少个不同的点？（2）这些点中，位于第一象限的有几个？讲讲练练9×7＋9×5＋7×5＝1433×4＋4×3＝242×2＋2×2＝83．集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},从A到B的映射有多少个？3×3×3×3＝81小结作业：P121,2,3,4