千题百炼――高考数学100个热点问题(一)：第2炼 充分条件与必要条件

第一章第2炼充条必要条集合逻辑第2炼充分条必要条一基础知识1定1对于两个条,pq，如果命题若p则q是真命题，则称条p能够推出条q，记pq⇒，工充条必要条如果条,pq满足pq⇒，则称条p是条q的充条称条q是条p的必要条工对于两个条而言，往往以中一个条角，考虑另一个条它的关系，种关系既包含充方面，包含必要方面所以在判断时既要判断若p则q的真假，要判断若q则p真假左两个条之间可能的充必要关系1p能推出q，但q推出p，则称p是q的充必要条工p推出q，但q能推出p，则称p是q的必要充条左p能推出q，且q能推出p，记pq⇔，则称p是q的充要条，称,pq等4p推出q，且q推出p，则称p是q的既充必要条4如何判断两个条的充必要关系1通过命题手段，将两个条用若……，则……组成命题，通过判断命题的真假来判断出条能否相互推出，而确定充必要关系例如2:1;:10pxqx=−=，构造命题若1x=，则210x−=真命题，所以pq⇒，但若210x−=，则1x=假命题x可能1−，所以q能推出p综，p是q的充必要条工理解充，必要词语的含并定性的判断关系充可日常用语中的充来理解，比如小明对明天的考试做了充的准备，何谓充？意味着小明需要再做任何额外的作，就可以直接考试了在逻辑中充是类似的含，是指仅由p就可以得到结论q，而需要再添加任何说明补充以题例，对于条:1px=，需再做任何说明或添加任何条，就可以得到2:10qx−=所以可以说p对q是充的，而反观q对p，由2:10qx−=，要想得到:1px=，要补充一个前提x能取1−，那既然要补充，则说明是充的第一章第2炼充条必要条集合逻辑必要可日常用语中的必要来理解，比如心脏是人的一个必要器官，何谓必要？没心脏，人可活，但是仅心脏，没他器官，人一定可活？所以必要体现的就是没它行，但是仅它未必行的含以题例如果2:10qx−=成立，那x必然1，但是仅靠2:10qx−=想得到:1px=是够的，需要更多的补充条，所以仅仅是必要的左用集合作先看一个问题已知P
Q,那条xP∈是xQ∈的什条？由P
Q可得到xPxQ∈⇒∈，且xQ∈推出xP∈，所以xP∈是xQ∈充必要条通过个问题可以看出，如果两个集合存在包含关系，那对条之间存在特定的充必要关系在求解时可以将满足条的元素构成对集合，判断出两个集合间的包含关系，而就可确定条间的关系了相关结论如P
Qp是q的充必要条，q是p的必要充条PQ⊆p是q的充条PQ=p是q的充要条方法适用范围较广，尤涉及到单变取值范围的条时，管是判断充必要关系是利用关系解参数范围，都可将问题转集合的包含问题，而快捷求解例如在2:1;:10pxqx=−=中，满足p的x取值集合{}1P=，而满足q的x取值集合{}1,1−所以P
Q，而判断出p是q的充必要条5关于,pq¬¬的充必要关系可命题的角度行判断例如p是q的充必要条，则命题若p，则q真命题，根据四类命题的真假关系，可得逆否命题若q¬，则p¬真命题所以q¬是p¬的充必要条二型例题例1已知2:31,:60pxqxx−+−，则p是q的A.充要条B.必要充条件.充必要条价.既充必要条思路考虑利用集合求解分别解等式得到对应集合。31131xx−⇒−−，解得第一章第2炼充条必要条集合逻辑24x，即{}|24Pxx=2603xxx+−⇒−或2x，即{}|32Qxxx=−或。所以P
Q，进而p是q的充分必要条答案件例2已知,abR∈，那1122loglogab是33ab的A.充要条B.必要充条件.充必要条价.既充必要条思路本题若得方便从条中直接找到联系，可先从一个条入手推出其等条，再进行判断，比如33ab等于ab，所以只需判断1122loglogabab的关系即可。根据12logyx=的单调性可得如果1122loglogab，则ab，但是若ab，在,ab大于零的前提，才有1122loglogab，而题目中仅说明,abR∈。所以能推出。综可判断1122loglogab是33ab的充分必要条答案C小炼有话说1如果所给条方便直接判断，那可以寻找它们的等条充要条，再进行判断即可2在1122loglogab推ab中，因为1122loglogab是条，表达式成立要求,0ab，但是在ab推1122loglogab中，ab是条，且对,ab取值没有特殊要求，所以,abR∈，那作为结论的1122log,logab就一定有意了。在涉及到变量取值时要首先分清谁是条，谁是结论。作为条的一方默认式子有意，所以会对变量取值有一定的影响。例左已知3:,:11pxkqx≥+，如果p是q的充必要条，则k的取值范围是_____思路设{}{}3|,|1|121PxxkQxxxxx=≥==−+或，因为p是q的充分必要条，所以P
Q，利用数轴可而判断出2k答案2k例4面四个条中，使ab成立的充而必要的条是A.1ab+B.1ab−件.22ab价.33ab第一章第2炼充条必要条集合逻辑思路求ab的充分必要条，则这个条能够推出ab，且能被ab推出。可以考虑验证四个选项。A选项1ab+可以推出ab，而ab一定能够得到1ab+比如1,1.5ab==，所以A符合条。对于B，C两个选项均能推出A，所以直接否定。而D选项虽然可以得到ab，但是ab也能推出33ab，所以D是A的充要条，符题意答案A例5工015浙江温州中学高二期中考试设集合{}1|0,|11xAxBxxax−==−+，则1a=是AB≠∅I的A.充必要条B.必要充条件.充要条价.既充必要条思路先解出两个解集()1,1A=−，B的解集a的取值有关若0a≤，则B=∅若0a，则()1,1Baa=−+，观察条，若1a=，则()0,2B=，所以AB≠∅I成立若AB≠∅I，则通过数轴观察区间可得a的取值为多个比如12a=，所以1a=是AB≠∅I的充分必要条答案A例6对于函数(),yfxxR=∈，()yfx=的图象关于y轴对称是()yfx=是奇函数的A.充必要条B.必要充条件.充要条价.既充必要条思路如果()yfx=是奇函数，图像关于原点对称，则()yfx=中()yfx=位于x轴方的部分沿x轴对称翻来，恰好图像关于y轴对称，但()yfx=的图象关于y轴对称未必能得到()yfx=是奇函数例如()2fxx=，所以()yfx=的图象关于y轴对称是()yfx=是奇函数的必要充分条答案B例7已知,abR∈，则221ab+≤是1ab+≤的第一章第2炼充条必要条集合逻辑A.充必要条B.必要充条件.充要条价.既充必要条思路一可以考虑利用特殊值来进行判断。比如考虑左⇒右，可以举出反例0.9,0.4ab==，则1ab+≤成立，所以左边无法得到右边。而右⇒左能够成立，所以221ab+≤是1ab+≤的必要充分条思路二本题也可以运用集合的思想，将,ab视为一个点的坐标(),ab，则条所对应的集合为(){}(){}22,|1,,|1PababQabab=+≤=+≤，作出两个集合在坐标系中的区域，观察两个区域可得PQ⊇，所以221ab+≤是1ab+≤的必要充分条答案B例8工015泽高期中考试设条p实数x满足22430(0)xaxaa−+条q实数x满足2280xx+−且p¬是q¬的必要充条，则实数a的取值范围是_________思路本题如果先将p¬，q¬写出，再利用条关系运算，尽管可行，但p¬，q¬容易书写错误。所以优先考虑使用原条。p¬是q¬的必要充分条等于q是p的必要充分条，而,pq为两个等式，所以考虑求出解集再利用集合关系求解。解设{}22|430,0Pxxaxaa=−+，可解得()3,Paa=，设{}2|280Qxxx=+−可解得()(),42,Q=−∞−+∞U，p¬Q是q¬的必要充条q∴是p的必要充条QP∴⊇0aQ4a∴≤−答案4a≤−例9数列{}na满足()111,,0nnaararnNr∗+==⋅+∈≠，则1r=是数列{}na成等差数列的A.充必要条B.必要充条件.充要条价.既充必要条思路1r=时，可得11nnaa+=+，即{}na成等差数列。所以1r=是数列{}na成第一章第2炼充条必要条集合逻辑等差数列的充分条。另一方面，如果{}na成等差数列，则123,,aaa成等差数列，所以有()()()213121122121aaararrarrarrrarr=+⇒⋅+=++⇒⋅+=+++，代入11a=可得224212310rrrrr=++⇒−+=，解得1r=或12r=，经检验，12r=时，2111122aa=+=，32111,22aa=+=L利用数学纳法可证得1na=，则{}na也为等差数列公差为0，所以12r=符合题意。从而由数列{}na成等差数列无法推出1r=，所以1r=是数列{}na成等差数列的必要条答案:A例10设02xπ，则2sin1xx是sin1xx的A.充必要条B.必要充条件.充要条价.既充必要条思路因为02xπ，所以0sin1x。故由sin1xx可得sinsinsin1xxxx⋅，即2sin1xx，对于2sin1xx能否推出sin1xx，可考虑寻找各自等条2211sin1sinsinxxxxxx⇔⇔，1sin1sinxxxx⇔，通过数形结合可以得到符合1sinxx的x的集合是1sinxx的x集合的子集。所以2sin1xx是sin1xx的必要充分条答案B模拟题题目精选12014，江西赣州高摸考试若,abR∈，则abab−=+是0ab的2.221.81.61.41.210.80.60.40.20.20.50.511.522.533.54hx()=sinx()gx()=1xfx()=1x第一章第2炼充条必要条集合逻辑A.充必要条B.必要充条C.充要条D.既充必要条22014南昌一模，3设,abrr向，则“||=||||abab⋅rrrr”是“//abrr”的A.充必要条B.必要充条C.充要条D.既充必要条3若,ab∈R，则“ab成立”是“22ab成立”的A.充必要条B.必要充条C.充要条D.既充必要条42014，京设{}na是公比q的等比数列，则“1q”是“{}na递增数列”的()A.充必要条B.必要充条C.充要条D.既充必要条52014海13校联考，15集合{}20,()()01xAxBxxaxbx−==−−+，若“2a=−”是“AB≠∅I”的充条，则b的取值范围是A.1b−B.1b−C.1b≥−D.12b−62015，福建“对任意的0,2xπ∈，sincoskxxx”是“1k”的A.充必要条B.必要充条C.充要条D.既充必要条72014京朝阳一模，5在ABC△中，π4A=，2BC=，则“3AC=”是“π3B=”的A.充必要条B.必要充条C.充要条D.既充必要条82014湖黄冈考，4已知条3:4pk=，条q直线()21ykx=++圆224xy+=相，则p是q的A．充必要条B．必要充条C．充要条D．既充又必要条9(2014陕西五校二模，1命题:pxR∈且满足sin21x=.命题:qxR∈且满足tan1x=.则p是q的A.充必要条B.必要充条C.充要条D.既充必要条102015京理科设,αβ是两个同的面，m是直线且mα⊂．则“mβ∥”是“αβ∥”的A.充必要条B.必要充条C.充要条D.既充必要条第一章第2炼充条必要条集合逻辑112016，海交大附中期中条对任意0,,sincos2xkxxxπ∈是1k的A.充而必要条B.必要而充条C.充必要条D.既充必要条题答案1答案B解析集合的角度来看，满足abab−=+条的(),ab取值范围是0ab或0ab=，所以可知abab−=+是0ab的必要充条2答案C解析==,ababababab⋅⇔⋅±⇔rrrrrrrrrr的夹角0,π，而等于//abrr左答案C解析由等式性质可知0ab≥，则22ab即22ab，反之若22ab，则22ab即ab4答案D解析若{}na的项均负项，则“1q”，“