6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式

一次函数与一元一次不等式我们来看下面的问题：1.解不等式：2x-4＞0问题1、2、3间有什么关系?2.当自变量x为何值时函数y=2x-4值大于0?3、画出函数y=2x-4的图象，并求出它与x轴的交点坐标。“解方程ax+b=0(a,b为常数)”与“求自变量x为何值时,一次函数y=ax+b的值为0”有什么关系?（同一个问题）问：(1)解不等式2x-40(2)当自变量x为何值时函数y=2x-4的值大于0这两个问题有什么关系呢?因为函数值y＞０，即2x-40x2（同一个问题）能否利用图象中观察不等式的解集呢?从图象上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴交点的横坐标的值.画图象xy01-22②观察x在什么范围时图象在x轴上方③(在x轴上方表明函数值y0)所以此不等式的解集是x2能否利用这个图象观察出2x-40的解集呢?(在x轴下方表明函数值y0)所以此不等式2x-40的解集是x2能否根据这个图象观察出不等式2x-42的解集呢?3利用图象求不等式6x-3＜x+2的解方法一:将方程变形为ax+b＜0的形式5x-5＜0转化为函数解析式画图象y=5x-5方法二:把不等式6x-3＜x+2的两边看成是两个函数:即y１=6x-3,y２=x+2转化为两个函数画出两个函数图象找出交点（观察x在什么范围时图象y１点在y２点的下方）0-1yx1xy01-22所以不等式6x-3＜x+2的解是x＜1所以不等式6x-3＜x+2的解是x＜1(观察x在什么范围时图象上的点是x轴下方)归纳：从实践中得出，由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b＞0或ax+b＜0（a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y=ax+b的值大于0（或小于0）时，求自变量相应的取值范围。从数的角度看求ax+b＞0(a≠0)的解x为何值时y=ax+b的值大于0从形的角度看求ax+b＞0(a≠0)的解确定直线y=ax+b在x轴上方的图象所对应的x的值我们从函数图象来看看画出直线y=2x-4,-42yx0Y=2x-4可以看出，当x＞2时，这条直线上的点在x轴的上方，即这时y=2x-40。所以2x-40的解集为x＞2试一试(根据一次函数与不等式的关系填空):求一次函数y=3x-6的函数值小于0的自变量的取值范围。求不等式3x+80的解集。(1)解不等式3x－60，可看作（2）“当自变量x取何值时，函数y=3x+8的值大于0”可看作-2xy=3x+6y例根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集(1)3x+60(3)–x+3≥0xy3y=-x+3(2)3x+6≤0X-2(4)–x+30x≤3X≤-2x3(即y0)(即y≤0)(即y0)(即y≥0)14.3.2一次函数与一元一次不等式练习：利用y=的图像，直接写出：y525x25xy=x+525的解方程0525)1(x的解集不等式0525)2(x的解不等式0525)3(x的解集不等式5525)4(xX=2X2X2X014.3.2一次函数与一元一次不等式(即y=0)(即y0)(即y0)(即y5)根据下列一次函数的图象，你能写出哪些不等式？并直接写出相应的不等式的解集。3x+60(x-2)3x+60(x-2)3x+6≥0(x≥-2)3x+6≤0(x≤-2)yx0-2Y=3x+61．从“数”的角度由上面两个问题的关系，能进一步得到“解不等式ax+b0或ax+b0（a，b为常数）”与“求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的函数值大于0或一次函数y=ax+b的函数值小于0”有什么关系？由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b0或ax+b0（a，b为常数a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以转化为：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。2．从“形”的角度由于一次函数图象是一条直线，它与x轴相交，在x轴上方的图象对应的函数值y大于0，则图象对应的自变量x为相应的自变量取值范围；在x轴下方的图象对应的函数值y小于0，则图象对应的自变量x为相应的自变量取值范围。也是相应的不等式的解集。y＞0。Oy＜0O。y＜0y＞0求ax+b0（或0）(a,b是常数，a≠0)的解集函数y=ax+b的函数值大于0（或小于0）时x的取值范围直线y=ax+b在X轴上方或下方时自变量的取值范围从数的角度看从形的角度看求ax+b0（或0）(a,b是常数，a≠0)的解集14.3.2一次函数与一元一次不等式可以看出，当x2时这条直线上的点在x轴的下方，解法一：化简得3x-60，画出直线y=3x-6，即这时y=3x-60，所以不等式的解集为x2例１.用画函数图象的方法解不等式5x+42x+10yx-620Y=3x-6尝试：解法2：画出直线y=5x+4与直线y=2x+10，yxOy=5x+44y=2x+10212观察：它们的交点的横坐标为2，当x2时，对于同一个x，直线y=5x+4上的点在与直线y=2x+10上相应点的下方，这时5x+42x+10，所以不等式的解集为x2。xOy-2112观察可知，当x=1时，y1与y2的函数图象相交于（1，-1），即y1=y2；当x1时，y1y2；当x1时，y1y2。解：解法1（图象法），在同一坐标系中作出一次函数和的图象。121yx22yx121yx22yx例2已知一次函数，试用两种方法比较它们同一个自变量对应的函数值的大小？12212yxyx和所以两图象的交点坐标为。例题分析（400,20）例3.一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式:方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费;方式B除收月基费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费.如何选择收费方式能使上网者更合算?解：设上网时间为x分，若按方式A的计费y=元；若按方式B的计费y=元，在同一直角坐标系中的图像如图所示：解方程组解得0.1x0.05x+2014.3.2一次函数与一元一次不等式当0x400时，当x=400时，=当0400时，因此，当一个月内上网时间少于400分时，选择方式合算;当一个月内上网时间等于400分时，选择方式合算;当一个月内上网时间多于400分时，选择方式合算。例题分析BA的收费B的收费A的收费B的收费B的收费A的收费AA或B14.3.2一次函数与一元一次不等式1．直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是（）A．x1B．x≥1C．x1D．x≤12．已知直线y=2x+k与x轴的交点为（-2，0），则关于x的不等式2x+k0的解集是（）A．x-2B．x≥-2C．x-2D．x≤-23．已知关于x的不等式ax+10（a≠0）的解集是x1，则直线y=ax+1与x轴的交点是（）A．（0，1）B．（-1，0）C．（0，-1）D．（1，0）当堂检测1.如图是一次函数的图象,则关于x的方程的解为；关于x的不等式的解集为；的解集为．关于x的不等式)0(kbkxy0bkx0bkx0bkx4．当自变量x的值满足____________时，直线y=-x+2上的点在x轴下方．5．已知直线y=x-2与y=-x+2相交于点（2，0），不等式x-2≥-x+2的解集是________．6．直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是________，不等式-3x+912的解集是________．7．已知关于x的不等式kx-20（k≠0）的解集是x-3，则直线y=-kx+2与x轴的交点_______．8．已知不等式-x+53x-3的解集是x2，则直线y=-x+5与y=3x-3的交点坐标是_________．9．已知函数y1=kx-2和y2=-3x+b相交于点A（2，-1）（1）求k、b的值，在同一坐标系中画出两个函数的图象．（2）利用图象求出：当x取何值时有：①y1y2；②y1≥y2（3）利用图象求出：当x取何值时有：①y10且y20；②y10且y20（4，0）x4x4x64x6y=2y=-1课堂检测：2.利用函数图象解出x：（1）5x-1=2x+5（2）6x-4＜3x+21.当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=3x+8的值满足下列条件？（2）y＜2（1）y=-7当堂检测2.若关于x的不等式的解集为则一次函数当时,图象在时,图象在x轴______.x轴_________;当分析：可以画出函数草图进行解答0bkxbkxy25x25x25x当堂检测3.如右图,一次函数的图象经过点,则关于x的不等式的解集为________________.)0(kbkxy)2,3(P2bkx分析：即求y-2时x的取值范围当堂检测4、看图象说不等式的解集1335xxxoy=5x-32y=3x+17y当堂检测x21.如图是一次函数的图象,则关于x的方程的解为；关于x的不等式的解集为；的解集为．关于x的不等式x=2x2)0(kbkxy0bkx0bkx0bkx当堂检测下方2.若关于x的不等式的解集为则一次函数当时,图象在时,图象在x轴______.x轴_________;当上方分析：可以画出函数草图进行解答0bkxbkxy25x25x25x当堂检测3.如右图,一次函数的图象经过点,则关于x的不等式的解集为________________.x-2)0(kbkxy)2,3(P2bkx分析：即求y-2时x的取值范围当堂检测4、看图象解不等式1335xxxoy=5x-32y=3x+17y从图中看出，当x2时，直线y=5x-3上的点在直线y=3x+1上相应点的上方，即5x-33x+1，所以不等式的解集为x2。3、如图，利用y=－2.5x+5的图象，（1）求出－2.5x+5=0的解；（2）求出－2.5x+5＞0的解集；（3）求出－2.5x+5≤0的解集；（4）你能求出－2.5x+5＞3的解集吗？（5）你还能求出哪此不等式的解集呢？yx250课堂检测：1．已知y1=-x+1和y2=-2x-1，当x-2时y1y2；当x-2时y1y2，则直线y1=-x+1和直线y2=-2x-1的交点是（）A（-2，3）B（-2，-5）C（3，-2）D（-5，-2）2．已知方程2x+1=-x+4的解是x=1，则直线y=2x+1与y=-x+4的交点是（）A（1，0）B（1，3）C（-1，-1）D（-1，5）3．直线AB∥x轴，且A点坐标为（1，-2），则直线AB上任意一点的纵坐标都是-2，此时我们称直线AB为y=-2，那么直线y=3与直线x=2的交点是（）A（3，2）B（2，3）C（-2，-3）D（-3，-2）5．已知直线y=ax+b经过点（1，2）和（2，3），则a=________，b=________．6．解方程组解为_______，则直线y=-x+15和y=x-7的交点坐标是________．7．已知函数y=mx-（4m-3）的图象过原点，则m应取值为__________．8．直线y=2x-1与y=x+4的交点是（5，9），则当x_______时，直线y=2x-1上的点在直线y=x+4上相应点的上方；当x_______时，直线y=2x-1上的点在直线y=x+4上相应点的下方．157xyxy9.作出函数y1=2x－4与y2=－2x+8的图象，并观察图象回答下列问题：（1）x取何值时，2x－4＞0？（2）x取何值时，－2x+8＞0?（3）x取何值时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立？（4）你能求出函数y1=2x－4，y2=－2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程.1.这节课我们学到了哪些知识？2.我们是用哪些方法获得这些知识的？3.你觉得还有什么问题需要继续讨论吗？回顾反思求一元一次不等式的解,可以看成某一个一次函数当自变量取何值时,函数的值大于零或等于零。2、如图，直线L1,L2交于一点P，若y