材料力学第6章弯曲变形

1第六章梁的弯曲变形——变形分析和刚度设计西南科技大学土木工程与建筑学院富裕Y.FU,Dept.ofCivilEngineeringandArchitecture,SouthwestUniversityofScienceandTechnology2第六章梁的弯曲变形——变形分析和刚度设计西南科技大学土木工程与建筑学院富裕Y.FU,Dept.ofCivilEngineeringandArchitecture,SouthwestUniversityofScienceandTechnology§6-1工程中的弯曲变形问题§6-2挠曲线的近似微分方程§6-3用积分法求梁的变形§6-4用叠加法求梁的变形§6-6梁的刚度条件及提高梁刚度的措施§6-5简单超静定梁3一、弯曲实例：二、受力特征：1、横向力作用。2、力偶作用，力偶的矢量方向垂直于轴向方向。三、变形特征:梁轴由直线变成曲线。梁：以弯曲变形为主要变形的杆件。§6.1工程中的弯曲变形问题4第六章梁的弯曲变形——变形分析和刚度设计西南科技大学土木工程与建筑学院富裕Y.FU,Dept.ofCivilEngineeringandArchitecture,SouthwestUniversityofScienceandTechnology§6-1工程中的弯曲变形问题§6-2挠曲线的近似微分方程§6-3用积分法求梁的变形§6-4用叠加法求梁的变形§6-6梁的刚度条件及提高梁刚度的措施§6-5简单超静定梁5§6.2挠曲线近似微分方程转角：挠度：挠曲线：xwl一、基本概念：二、挠度与转角：w逆时针为正!由于小变形，截面形心在x方向位移忽略不计!)(xww变形后梁的轴线梁轴方向的位移横截面形心在角度横截面绕中性轴转过的设挠曲线方程为：转角、挠度关系为：xdwdtan6xw00Mw　00Mw　三、挠曲线近似微分方程：EIM1:忽略剪力对变形的影响232)1()(1wwxwx)(1EIxMdxwd)(22表示转角，在计算中单位为弧度，故与1相比很小。w2EIxMdxwd)(22纯弯曲时：EIxMx)()(1§6.2挠曲线近似微分方程7第六章梁的弯曲变形——变形分析和刚度设计西南科技大学土木工程与建筑学院富裕Y.FU,Dept.ofCivilEngineeringandArchitecture,SouthwestUniversityofScienceandTechnology§6-1工程中的弯曲变形问题§6-2挠曲线的近似微分方程§6-3用积分法求梁的变形§6-4用叠加法求梁的变形§6-6梁的刚度条件及提高梁刚度的措施§6-5简单超静定梁8§6.3用积分法求弯曲变形maxmaxww　光滑条件连续条件边界条件积分常数的计算截面设计载荷设计刚度校核刚度条件的应用一、两次积分法二、刚度条件EIxMdxwd)(22CdxEIxMdxdw)(DxCdxdxEIxMw)(9镗刀在工件上镗孔，为保证镗孔精度，镗刀杆的弯曲变形不能过大。设径向切削力F=200N，镗刀杆直径d=10mm，外伸长度l=50mm。材料弹性模量E=210GPa。求镗刀杆上安装镗刀头的截面B的转角和挠度。6-2§6.3用积分法求弯曲变形镗刀杆简化为悬臂梁。如图建立坐标系，任意横截面上的弯矩为wEI)(xM)(xlF)(xMFlFxxlF)(FwEIxwlxAB挠曲线近似微分方程为积分得EIwDCxxFlxF2326CFlxxF22Bw　B1000,　CDFlxxFwEI222326xFlxFEIw§6.3用积分法求弯曲变形00,　CD00,　CD,0x000:,xww　6-2径向切削力F=200N，镗刀杆直径d=10mm，外伸长度l=50mm。材料弹性模量E=210GPa。求截面B的转角和挠度。确定积分常数积分得DCxxFlxFEIw2326CFlxxFwEI22，0AAw0Aw则转角、挠度方程分别为FxwlxABBw　BBBw，EIFl22BwEIFl33代入数据，F=200N，l=50mm。E=210GPa，4mm491644dId=10mm，rad.002420Bmm.08050Bw得11xw桥式起重机的大梁和建筑中的一些梁都可以简化为简支梁，梁的自重就是均布载荷。讨论在均布载荷作用下，简支梁的弯曲变形。§6.3用积分法求弯曲变形6-3qlBA2qlx2ql222xqlqMxx解：①、　222qlqEIwxx②、　)(xM222xqxql2346qlqEIwxxC　341224qlqEIwxxCxD　222qlqEIwxx②、　弯矩方程挠曲线近似微分方程wEIwEIEIw积分得③、34524384maxmaxqlqlwEIEI　2464332qlxqxqlwEIxqlxqxqlEIw242412343243qlC34524384maxmaxqlqlwEIEI　00,　CD00,　CD34524384maxmaxqlqlwEIEI　34524384maxmaxqlqlwEIEI　0D,0x,lx0Aw0Bw确定积分常数BA2/lxwEI12①用整体平衡条件求出梁的支座反力；②建立坐标系，用截面法求出梁的弯矩方程；③对挠曲线近似微分方程积分两次；④利用位移边界、连续光滑条件确定积分常数；⑤确定转角方程和挠度方程；⑥求出指定截面的挠度和转角。积分法解题步骤：弯矩方程位移边界、连续光滑条件EIxMdxwd)(22CdxEIxMdxdw)(DxCdxdxEIxMw)(§6.3用积分法求弯曲变形13a§6.3用积分法求弯曲变形内燃机中的凸轮轴或某些齿轮轴，可以简化成在集中力F作用下的简支梁。讨论这一简支梁的弯曲变形。6-4xwClBAlFa1xlFbEI2　xFb222xqlqMxx解：①、　222qlqEIwxx②、　弯矩方程挠曲线近似微分方程③、1M2Mlxa2ax10,1xlFb,)(22axFxlFb计算支反力111xlFbMwEI12112CxlFbwEI1113116DxCxlFbEIw)(axFxlFbMwEI222222222222CaxFxlFbwEI)(2223232266DxCaxFxlFbEIw)(积分得14§6.3用积分法求弯曲变形内燃机中的凸轮轴或某些齿轮轴，可以简化成在集中力F作用下的简支梁。讨论这一简支梁的弯曲变形。6-4确定积分常数0ABCCCC④、求积分常数　边界条件：连续条件：光滑条件：12112CxlFbwEI1113116DxCxlFbEIw22222222CaxFxlFbwEI)(2223232266DxCaxFxlFbEIw)(:边界条件:连续条件:光滑条件021201lxxwwaxaxww2121axaxww212121CC21DDlFbFbl66130axwCBAlFa1xlFbEI2　xFb15EIlbaFabC3时，当0dxdw,322blxEIlblFbw39322)(max222266933448max/()()()ABlPablbPablaEIlEIlPblwEIPbwlbEI⑤、，　6-4确定转角、挠度的最值12112CxlFbwEI1113116DxCxlFbEIw22222222CaxFxlFbwEI)(2223232266DxCaxFxlFbEIw)(lFbFblCC661321021DD,EIlblFabA6EIlalFabB60取极值。w则，设ba段内。的截面必然在可见AC0axwCBAlFa1xlFbEI2　xFb§6.3用积分法求弯曲变形162/lwEIblFb48)43(22EIlblFbwwblx3932231221)()(max222266933448max/()()()ABlPablbPablaEIlEIlPblwEIPbwlbEI⑤、，　6-4确定转角、挠度的最值12112CxlFbwEI1113116DxCxlFbEIwlFbFblC6613101D当F接近右支座，即b很小时，有：EIFblEIFblw220642039.maxEIFblEIFblwl2220625016./若a=b=l/2，,maxEIFl162EIFlw483maxaxwCBAlFa1xlFbEI2　xFb§6.3用积分法求弯曲变形17①尽可能选择支座处为坐标原点，w坐标的正方向选为向上，否则，挠曲线方程要相差一个负号。2/maxlww——积分法③挠曲线不仅与弯矩M有关，还与材料弹性模量E、横截面惯性矩I有关，故M、E、I中有一个不连续时，挠曲线微分方程的积分就需分段进行，每增加一段，就增加两个积分常数。④利用结构和载荷的对称性，可只求解半段梁的挠曲线。⑤对于简支梁，若挠曲线上无拐点，则②当x1，x2坐标均有同一坐标原点和指向，并在积分时将(x-a)看作一个变量时，可得到积分常数C1=C2，D1=D2的结果。§6.3用积分法求弯曲变形18积分法求变形有何优缺点？任意截面处的挠度、转角载荷复杂挠度、转角方程求特定截面处挠度、转角走弯路！运算复杂§6.3用积分法求弯曲变形19第六章梁的弯曲变形——变形分析和刚度设计西南科技大学土木工程与建筑学院富裕Y.FU,Dept.ofCivilEngineeringandArchitecture,SouthwestUniversityofScienceandTechnology§6-1工程中的弯曲变形问题§6-2挠曲线的近似微分方程§6-3用积分法求梁的变形§6-4用叠加法求梁的变形§6-6梁的刚度条件及提高梁刚度的措施§6-5简单超静定梁20nii1niiww1§6.4用叠加法求弯曲变形梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。小变形、线弹性2122:mlmlmwEIEI　　m　P　q3232:PlPlPwEIEI　4386:qlqlqwEIEI　21636:mlmlmlmwEIEIEI左右　324816:PlPlPwEIEI左右左　43538424:qlqlqwEIEI左右左　一、基本公式：3,2EI力长度　22:mlmlmwEIEI　22:mlmlmwEIEI　3232:PlPlPwEIEI　3232:PlPlPwEIEI　4386:qlqlqwEIEI　4386:qlqlqwEIEI　22:mlmlmwEIEI　3232:PlPlPwEIEI　4386:qlqlqwEIEI　ll§6.4用叠加法求弯曲变形22iiww　34548384PqcccPlql　3wEI力长度　二、有限叠加法：EIqBA2/l2/lP231624　PqAAAPlqlEIEI2力长度　EICiiww　§6.4用叠加法求弯曲变形23EI223448()PblbwEI中查表得：　ABCq05.　lbPabxdx01bCi中中　三、积分法－无限叠加法