第8章-应力状态与强度理论

设一直径为d的等直圆杆AB,B端具有与AB成直角的刚臂.研究AB杆的强度.将力F向AB杆右端截面的形心B简化得横向力F（引起平面弯曲）力偶矩M=Fa（引起扭转）AB杆为弯曲与扭转组合变形BAFMxlABCF问题1：1叠加法固定端A截面为危险截面FaAAFMFl.,maxmaxtzWFaWFl若max[]、max[]，AB杆的强度是否符合要求？——有必要用合适的强度条件进行强度校核。2zzFFBBB——有必要对一点的应力进行分析。.maxAFksFl)(-zWMmaxmax若max[]、max[]，B点处应力该如何校核？问题2：3第8章应力状态分析与强度理论4应力状态的概念用解析法分析平面应力状态用图解法分析平面应力状态三向应力状态广义胡克定律强度理论及其应用目录5§8-1应力状态的概念1、受力构件内应力特征：（1）构件不同截面上的应力状况一般是不同的；（2）构件同一截面上不同点处的应力状况一般是不同的；（3）构件同一点处，在不同方位截面上应力状况一般是不同的。应力哪一个面上？哪一点？哪一点？哪个方向？6§8-1应力状态的概念一点处的应力状态:受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合,称为一点处的应力状态。研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最大正应力或最大切应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。2、点的应力状态的概念7§8-1应力状态的概念3、一点的应力状态的描述（1）研究一点的应力状态，可对一个包围该点的微小正六面体——单元体进行分析应力单元体PAabcdAσσ8§8-1应力状态的概念（2）单元体特征单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布；任意一对平行平面上的应力相等4、应力状态分类（1）单向应力状态9§8-1应力状态的概念（2）平面应力状态：单元体有一对平面上的应力等于零。（4）空间应力状态：单元体各对平面上的应力均不等于零（3）纯剪切应力状态：10yxzxyzxyyxyzzyzxxz单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力，分别用表示，并且该单元体称为主单元体。§8-1应力状态的概念11§8-1应力状态的概念301050单位：MPa3010;30;10;50321-;30;0;10321-主应力排列规定：按代数值由大到小。32112§8-1应力状态的概念例题1画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.54321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面21x1x1x2x22233313§8-2一点处的应力状态截取单元体的原则一般来说，三对平行面的应力是可求的或给定的；通常截取的一对平行平面是横截面。A横截面AFF14横截面A横截面BAB§8-2一点处的应力状态151.斜截面上的应力计算§8-3二向应力状态分析—解析法xyxyxyacbtnxxyxyacb160sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(--dAdAdAdAdAyyxxxy0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(--dAdAdAdAdAyyxxxy§8-3二向应力状态分析—解析法列平衡方程tnxxyxy17§8-3二向应力状态分析—解析法（1）正负号规则：正应力：拉为正；压为负切应力：使单元体顺时针方向转动为正。α角：逆时针转动为正。——单元体任意斜截面上的应力计算式tnxxyxy（2）注意：用公式计算时,代入相应的正负号！yx090两个相互正交的截面上正应力之和恒定。18设α＝α0时，上式值为零，即2.正应力极值和方向即α＝α0时，切应力为零§8-3二向应力状态分析—解析法正应力极值即为主应力0019由上式可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。主应力按代数值排序：σ1σ2σ3§8-3二向应力状态分析—解析法主平面的方位:)90;(000022minmax)2(2xyyxyx-主应力的大小:203.切应力极值和方向§8-3二向应力状态分析—解析法xyyx22tan1-最大切应力所在的方位22minmax)2(xyyx-最大切应力的大小01dd令)90;(011112tan2tan10-)45(001tnxxyxyacb21yxxy--22tan0——主平面的位置)90;(0000xyyx22tan1-——最大切应力所在的位置)90;(011100145xyyxmaxminminmax0maxmin§8-3二向应力状态分析—解析法22试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。例题1：一点处的平面应力状态如图所示。406030。30-MPa60xMPa,30-xy,MPa40-y已知§8-3二向应力状态分析—解析法23解：（1）斜面上的应力)60sin(30)60cos(2406024060---MPa02.9)60cos(30)60sin(24060---MPa3.58-yxxy§8-3二向应力状态分析—解析法。30-MPa60xMPa,30-xy,MPa40-y24（2）主应力、主平面2yxxyyx22)2(-maxMPa3.682yxxyyx22)2(--minMPa3.48-MPa3.48,0MPa,3.68321-yxxy§8-3二向应力状态分析—解析法25主平面的方位：yxxytg--2206.0406060--,5.1505.105905.150yxxy§8-3二向应力状态分析—解析法（3）主单元体：135.15x26这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆,也叫莫尔圆(Mohr’sCircle)。§8-4二向应力状态分析——图解法27RCxyyxR22)2(-2yx§8-4二向应力状态分析——图解法28o图2、建立应力坐标系，如图2，（注意选好比例尺）xyxxyyo、在坐标系内画出点D(x,xy)、D’(y,yx).、AB与a轴的交点C便是圆心。、以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆，；C图11.应力圆的画法D’(y,yx)D(x,xy)§8-4二向应力状态分析——图解法应力圆上点的坐标与单元体面上的应力分量值一一对应。29§8-4二向应力状态分析——图解法2.几种对应关系（1）点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力D(x,xy)D’(y,yx)cxyHnH30§8-4二向应力状态分析——图解法（2）两倍角对应——单元体某方向转过某个角度到另一个方向面时，应力圆上对应点的半径转过该角度的两倍达到另一个方向面对应的点。D(x,xy)D’(y,yx)cxy2D(x,xy)D(x,xy)D(x,xy)D’(y,yx)D’(y,yx)D’(y,yx)ccxy2xy2yyxxyxxxyyyyxxyxxxyyyyxxyxxxyyHnnHnnHnn),(aaH2),(aaH2（3）转向相同31§8-4二向应力状态分析——图解法3.图解法的应用,以D为基点，转2的圆心角至E点——，转向与单元体面转过的方向相同。),(E1maxOA2minOA（2）主应力321,,（3）主平面位置以D为基点，转到A1点，其圆心角为20。（0——主平面的位置)。oCD1B2B1A2A'D2E),(02（1）求斜截面上应力),(yxy),(xyxxyoxyxyxy321maxCG2minCG（4）切应力的极值及所在位置以D为基点，转到G1点，其圆心角为21。由应力圆可证明——最大正应力与最大剪应力所在平面相差450oCD1B2B1A2A'D2E),(021G12xyoxyxyxy2Gminmax§8-4二向应力状态分析——图解法33D’60EFτσO.;003030EFOF2、量出所求的物理量.2.;0;1023211DCAOAOA-解：1、按比例画此单元体对应的应力圆408060DC),(30301A2A020200例2：求1）图示单元体300斜截面上的应力2）主应力、主平面（单位：MPa）。§8-4二向应力状态分析——图解法34xxADodac2×45º2×45ºbeBE§8-4二向应力状态分析——图解法35oa(0,)d(0,-)ADbec2×45º2×45º1＝3＝BE§8-4二向应力状态分析——图解法36三个主应力都不为零的应力状态§8-5三向应力状态37123231对斜截面上的应力没有影响。这些斜截面上的应力对应于由主应力2和3所画的应力圆圆周上各点的坐标。23O§8-5三向应力状态3812O12313O123§8-5三向应力状态39OA123123nn与三个主方向都不平行的任意斜截面，其应力n和n可由图中阴影面内某点的坐标来表示。§8-5三向应力状态40由三向应力圆可以看出：结论：代表单元体任意斜截面上应力的点，必定在三个应力圆圆周上或阴影内。3231210§8-5三向应力状态411.基本变形时的胡克定律yx1）轴向拉压胡克定律横向变形2）纯剪切胡克定律§8-6广义胡克定律422、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法§8-6广义胡克定律43§8-6广义胡克定律443、广义胡克定律的一般形式xyzxyyxyzzyzxxz§8-6广义胡克定律——广义胡克定律45对于平面应力状态：§8-6广义胡克定律xxxyyyxy11xxyyyxxyxyEEG--22()1()1xxyyyxxyxyEEG--或46例:刚性槽，内置a=10mm的正方形钢块，受合力F=8kN的均布力作用。无摩擦力，E=200GPa,yx,0z二向（平面）应力状态728000N8.010()0.01myFPaA--由广义胡克定律：)(104.2)100.8(3.0077PaEEyxyxx---yxz§8-6广义胡克定律4745yx1354313545451031.3)5533.05(10701)(1000-----E3045°50例已知平面应力状态如图所示，E＝70GPa，泊松比33.0解：MPaMPaxyx30,0,50MPa590sin3090cos2050205045--MPa55270sin30270cos20502050135-求45o方向的应变§8-6广义胡克定律48关于弹性体受力后某一方向的应力与应变关系，请判断下列论述的正确性：有应力一定有应变有应力不一定有应变有应变不一定有应力有应变一定有应力§8-6广义胡克定律494、体积应变与应力分量的关系体积应变：§8-6广义胡克定律50平均应力体