平面向量的内积

1、向量的夹角的概念)1800(两个非零向量和，作，ab,OAaOBb180与反向abOABabOAa0与同向abOABabaBbbAOBab则叫做向量和的夹角记作a,b.记作ab90与垂直，abOABab注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的练习1、如图，等边三角形中，求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC通过平移变成共起点！12060'Cs┓我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）力F所做的功W可用下式计算W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角F功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？记作=已知两个非零向量和，它们的夹角为，我们把数量abba即有cosbaab叫做与的数量积（或内积），bacosba规定：零向量与任意向量的数量积为0，00a即表示数量而不表示向量,与、、不同,它们表示向量；aababba在运用数量积公式解题时,一定要注意向量夹角的取值范围是0180（1）（2）（3）　“　”不能省略不写，也不能写为“　”　“　”不能省略不写，也不能写为“　”2、数量积的概念（4）这是一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合．练习1，已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角，求a·b.6054cos60154()210解：a·b=|a||b|cosθ知道与能不能求出ababcoscosabab0变1：当时求ab变3：当时求180ab90ab变2：当时求变4：与同方向，求aeea(3)cos=(a·b)/(|a||b|).(2)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a(或写成a2)=|a|2或|a|=√a·a设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角,则a⊥b=/2cos=0(4)e·a=a·e=|a|cos.|a||b|cos=0a·b=0a·b=|a||b|cos(1)a⊥ba·b=0.3、向量数量积的性质练习3、判断下列命题是否正确1.若a=0,则对任意向量b，有a·b=0.2.若a≠0,则对任意非零向量b，有a·b≠0.3.若a≠0,且a·b=0,则b=0.4.若a·b=0，则a=0或b=0.5.对任意的向量a，有a2=│a│2.6.若a≠0,且a·b=a·c,则b=c.()(×)()(×)(×)(×)7.对实数a,b,c有(ab)c=a(bc)对向量,是否有(a.b)c=a(b.c)运算律和运算紧密相连。引入向量数量积后，自然要看一看它满足怎样的运算律。看看向量数量积能否满足下面的运算律？已知向量和实数，则向量的数量积满足：,,abc（1）abba（交换律）（2）()()()ababab（数乘结合律）（3）()abcacbc（分配律）4()()abcabc（不一定成立）4、向量数量积的运算律奎屯王新敞新疆54602oababkkabab例2、已知，，与的夹角为，问当为何值时，向量与垂直？解：）（）（babak202）（）（babak021222bbakak）（即0260cos1222bbakako）（042214512252）（kk1514k垂直。与时，向量当babakk21514四、小结：本节课我们主要学习了平面向量的夹角,数量积的概念,运算率与性质，常见的题型主要有：1、直接计算数量积（定义式以及夹角的定义）2、由数量积求向量的模4、运用数量积的性判定两向量是否垂直3、由数量积确定两向量的夹角练习2：作图并求出求下列各组向量的夹角（1）=(0,-3)=(2,0)(2)=(0,2)=(-2,2)abab例2:已知:,当⑴∥;⑵⊥;⑶与的夹角为时,分别求与的数量积.4,5abababba150ba已知:,当⑴∥;⑵⊥;⑶与的夹角为时,分别求与的数量积.4,5abababba150ba解:∵∥,∴与同向或反向aabb∵∥,∴与同向或反向aabb⑴若与同向,则,ab0若与同向,则,ab04520若与反向,则,ab180若与反向,则,ab18045(1)200cosbaba180cosbaba⑵当⊥时,ab90当⊥时,ab90090cosbaba⑶当与夹角为,即ab150150当与夹角为,即ab150150345()2103150cosbaba作业：练习第3题.习题第1题.隆德职业中学