学而思 小升初第2讲_几何一-直线形面积

学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第二讲教师版Page1of13小升初名校真题专项测试-----几何篇（一）测试时间：15分钟姓名_________测试成绩_________1、如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA的面积是35，求三角形ABC的面积.（06年清华附中入学测试题）【解】根据定理：ABCBED=3211=61，所以四边形ACDE的面积就是6-1=5份，这样三角形35÷5×6=42。2、四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)如果小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，那麽直角三角形中，最短的直角边长度是______米.（06年实验中学入学测试题）【解】小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，所以外边四个面积和是5-1=4，所以每个三角形的面积是1，这个图形是“玄形”，所以长直角边和短直角边差就是中间正方形的边长，所以求出短边长就是1。3、如图在长方形ABCD中，△ABE、△ADF、四边形AECF的面积相等。△AEF的面积是长方形ABCD面积的______(填几分之几)。（03年资源杯试题）。【解】连接AC，首先△ABC和△ADC的面积相等，又△ABE和△ADF的面积相等，则△AEC和△AFC的面积也相等且等于ABCD的1/6，不难得△AEC与△ABE的面积之比为1/2，由于这两个三角形同高，则EC与学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第二讲教师版Page2of13BE之比为1/2，同理FC与DF之比也为1/2。从而△ECF相当于ABCD面积的1/18，而四边形AECF相当于ABCD面积的1/3，从而答案为1/3-1/18=5/18。AFEDCB4、如图1，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为_____（01年同方杯）【解】设图示两个三角形的面积分别为a和b，因为△AED面积等于ABCD的一半，则△ABE加上△DEC的面积也等于ABCD的一半。而△FDC的面积也等于ABCD的一半，即23+a+32+12+b=a+b+阴影面积，可见阴影面积=23+32+12=67。AEDCBab233212F5、右图中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四边形ABDE的面积是平方厘米．（三帆中学入学测试题）【解】：连接AD,则AF是三角形AED的底ED的高,CD是三角形ABD的底AB的高.四边形ABDE的面积=三角形AED的面积+三角形ABD的面积=21×ED×AF+21×AB×CD=21×8×7+21×3×12=28+18=46。6、一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪．一看到小灵通，王师傅热情地招呼，说：“小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我把它分成东、西、南、北四部分(如图)．修剪西部、东部、南部各需10分钟，16分钟，20分钟．请你想一想修剪北部需要多少分钟？（05年101中学入学测试题）【解】如下所示：将北部分成两个三角形，并标上字母南西北东学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第二讲教师版Page3of13201016xyBACDFE那么有10:20:)16(16:20:)10(xyyx，即有yxxy1624405，解得2420yx．所以修剪北部草坪需要20+24＝44分钟．评注：在本题中使用到了比例关系，即：S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC；S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC；S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；有时把这种比例关系称之为燕尾定理．BCAFDGE学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第二讲教师版Page4of13第二讲小升初专项训练-----直线形面积引言：随着小升初考察难度的增加，几何问题变越来越难，一方面，几何问题仍是中学考察的重点，各学校更喜欢几何思维好的学生，这样更有利于小学和初中的衔接；另一方面几何问题由于类型众多，很多知识点需要提前学，这就加快了学生知识的综合运用，而这恰恰是重点中学学校所期望的。所以近几年的几何难度年年在增加，很多学校的考题可以说超出小学的范围，本节主要是通过分析例题来讲解其中的相关知识点和解题思维。【典型例题解析】1．（★★）如图，已知四边形ABCD中，AB=13，BC=3，CD=4，DA=12，并且BD与AD垂直，则四边形的面积等于多少？[思路]：显然四边形ABCD的面积将由三角形ABD与三角形BCD的面积求和得到．三角形ABD是直角三角形，底AD已知，高BD是未知的，但可以通过勾股定理求出，进而可以判定三角形BCD的形状，然后求其面积．这样看来，BD的长度是求解本题的关键．【解】：：由于BD垂直于AD，所以三角形ABD是直角三角形．而AB=13，DA=12，由勾股定理，BD2=AB2－AD2=132—122=25=52，所以BD=5．三角形BCD中BD=5，BC=3，CD=4，又32十42=52，故三角形BCD是以BD为斜边的直角三角形，BC与CD垂直．那么：ABCDS四边形=ABDS+BCDS=12×5÷2+4×3÷2=36．．即四边形ABCD的面积是36．[总结]：勾股定理是几何问题中非常重要的定理．请同学们注意到这样一个问题：勾股定理实际上包含两方面的内容：①如果一个三角形是直角三角形，那么两条直角边的平方之和等于斜边的平方；②如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么它一定是直角三角形．本例同时用到了这两方面的内容，在解题中要注意体会．2、已知如下图，一个六边形的6个内角都是120º，其连续四边的长依次是1，9，9，5厘米。求这个六边形的周长。[思路]：学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第二讲教师版Page5of133、（★★）将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2:3。已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少？【解】：[思路]：小升初中常把分数，百分数，比例问题处理成份数问题，这个思想一定要养成。解：粗线面积：黄面积=2：3绿色面积是折叠后的重叠部分，减少的部分就是因为重叠才变少的，这样可以设总共3份，后来粗线变2份，减少的绿色部分为1份，所以阴影部分为2-1=1份，[总结]：份数在小升初中运用的相当广，一定要养成这个思想！4、（★★★）如图，长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方形，①号正方形的边长是长方形长的5/12，②号正方形的边长是长方形宽的1/8。那么，图中阴影部分的面积是多少？[思路]：从整除入手，我们可以推出长方形的面积只能是8×12=96，再入手就很简单可。解：①的面积就是5×5=25②的面积是1×1=1最大的空白正方形面积=（8-1）×（8-1）=49阴影面积=96-49-25-1=21[总结]：整除的一些讨论能提高我们的速度！学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第二讲教师版Page6of135、（★★★）如图，已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米？[方法一]：[思路]：充分利用图形中的同（等）底，同（等）高关系，这是小升初最基础的考点。解：连接CF，CF//BD。可以得到阴影部分面积就是梯形BCDF面积的一半，也等于BCD的面积（利用同底等高）。∴BFD=DCB=10×10/2=50[方法二]：[思路]由于没有告诉我们小正方形的边长，我们可以判断阴影的面积跟小正方形的边长没关系，这样我们大胆的设小正方形的边长为a。解：阴影面积=四边形BEFD面积-三角形BEF面积四边形BEFD面积=三角形BCD+梯形CDEF面积=10×10÷2+（a+10）×a÷2三角形BEF面积=BE×EF÷2=（a+10）×a÷2所以阴影面积=四边形BEFD面积-三角形BEF面积=10×10÷2+（a+10）×a÷2-（a+10）×a÷2=10×10÷2=50[总结]：小升初考试对面积的处理方法中，“加减法”和“切割法”是最常用的方法，本题是对这两个方法的综合运用，建议学生要深刻理解方法的运用，多做练习。[方法三]：极限判断[思路]：由于没有告诉我们小正方形的边长，我们可以判断阴影的面积跟小正方形的边长没关系，这样我们考虑边长的特殊情况，如果小正方形的边长小到0，这样的话G，F，E都缩到C点上，这样原来阴影面积B，D两点没变，F点变到C点。所以阴影面积为10×10÷2=50。也可以让小正方形的边长和大正方形相等，这样就得下面的图形，所以阴影面积也是10×10÷2=50。学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第二讲教师版Page7of13[总结]：这种极限考虑的思路一定要注意是使用的条件，如果能熟练的运用可以大大的提高解题的时间。[拓展]：[人大附]已知正方形ABCD边长为10，正方形BEFG边长为6，求阴影面积？6、（★★★）如图，ABCG是4×7的长方形，DEFG是2×10的长方形，那么，三角形BCM的面积与三角形DCM的面积之差是多少？[方法一]：[思路]：公共部分的运用，这是小升初的常用方法，熟练找出公共部分是解题的关键。解:GC=7，GD=10推出HE=3；BC=4，DE=2阴影BCM面积-阴影MDE面积=(BCM面积+空白面积)-(MDE面积+空白面积)=三角形BHE面积-长方形CDEH面积=3×6÷2-3×2=3[总结]：对于公共部分要大胆的进行处理,这样可以把原来无关的面积联系起来,达到解题的目的.[拓展]：如图,已知圆的直径为20,S1-S2=12,求BD的长度?学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第二讲教师版Page8of13[方法二]：[思路]：画阴影的两个三角形都是直角三角形，而BC和DE均为已知的，所以关键问题在于求CM和DM．这两条线段之和CD的长是易求的，所以只要知道它们的长度比就可以了，这恰好可以利用平行线BC与DE截成的比例线段求得．解:GC=7，GD=10知道CD=3；BC=4，DE=2知道BC:DE=CM:DM所以CM=2，MD=1。阴影面积差为:4×2÷2-1×2÷2=3[方法三]：连接BDSBCM—SDEM=SBCD—SBDE=(3×4—2×3)÷2=3．[总结]：比例的灵活运用能大大提高解题的速度,特别是这种一个平行线截相交线段得比例的典型图，AB平行于DE，有比例式AB：DE=AC：CE=BC：CD，三角形ABC与三角形DEC也是相似三角形．下图形状要牢记并且要熟练掌握比例式．以下我们来看看上面结论和燕尾定理的运用：7．（★★★）如右图，单位正方形ABCD，M为AD边上的中点，求图中的阴影部分面积。来源：第四界“华赛杯”试题【解1】：两块阴影部分的面积相等，AM/BC=GM/GB=21,所以GB/BM=32，而三角形ABG和三角形AMB同高，所以S△BAG=32S△ABM=32×21×1÷2=61，所以阴影面积为61×2=31【解2】