艺术生专用数学 解析几何讲义(1)

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程【考纲下载】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．3．掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①一个前提：直线l与x轴相交；一个基准：取x轴作为基准；两个方向：x轴正方向与直线l向上的方向．②当直线l与x轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为0°.③倾斜角的取值范围为[0，π)．(2)直线的斜率①定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tan_θ.②计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝y2－y1x2－x1.2．两条直线平行、垂直与其斜率间的关系(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2；②当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行．(2)两条直线垂直①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1；②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为垂直．3．直线方程的几种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x0，y0)y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式斜率k与截距by＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)截距式截距a与bxa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用1．直线的倾斜角越大，斜率k就越大，这种说法对吗？2．在平面直角坐标系中，如果两条直线平行，则其斜率相等，正确吗？3．在平面直角坐标系中，任何直线都有点斜式方程吗？1．(教材习题改编)若直线x＝2的倾斜角为α，则α()A．等于0B．等于π4C．等于π2D．不存在2．(教材习题改编)过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1B．4C．1或3D．1或43．直线y＝kx＋1过点1，32，则该直线的斜率为()A．－12B.12C．2D．－24．过两点A(0,1)，B(－2,3)的直线方程为____________．5．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴、y轴上的截距相等，则a＝________.考点一直线的倾斜角与斜率[例1](1)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A．[0，π)B.0，π4∪3π4，πC.0，π4D.0，π4∪π2，π(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．【互动探究】若将P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．1．已知两点A(－3,3)，B(3，－1)，则直线AB的斜率是()A.3B．－3C.33D．－332．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sinα＋cosα＝0，则a，b满足()A．a＋b＝1B．a－b＝1C．a＋b＝0D．a－b＝0考点二直线的平行与垂直的判断及应用[例2](1)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0(2)(2014·雅安模拟)已知a≠0，直线ax＋(b＋2)y＋4＝0与直线ax＋(b－2)y－3＝0互相垂直，则ab的最大值为()A．0B．2C．4D.2【方法规律】用一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件A1A2＝B1B2≠C1C2(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件A1A2≠B1B2(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件A1A2＝B1B2＝C1C2(A2B2C2≠0)1．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________.2．若直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝－7＋a平行，则实数a的值为________．高频考点考点三直线方程1．直线方程是解析几何的一个基础内容，在高考中经常与其他知识结合考查，多以选择、填空题的形式呈现，难度不大，多为中、低档题目．2．高考中对直线方程的考查主要有以下几个命题角度：(1)已知两个独立条件，求直线方程；(2)已知直线方程，求直线的倾斜角、斜率；(3)已知直线方程，判断两直线的位置关系；(4)已知直线方程及其他条件，求参数值或范围．[例3](1)(2014·攀枝花模拟)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是()A．2B．22C．4D．23(2)直线l经过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点．△OAB的面积为12，则直线l的方程是____________________________________________________________．与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(2)求直线的倾斜角和斜率．直线Ax＋By＋C＝0.若B＝0，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；若B≠0，则斜率k＝－AB，然后再求倾斜角．(3)判断两条直线的位置关系．可由两直线的斜率以及在y轴上的截距来判断两直线的位置关系．(4)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．1．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0D．4x＋y－3＝02．(2013·广东高考)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是()A．x＋y－2＝0B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋2＝03．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是________．—————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个关系——直线的倾斜角和斜率的关系(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：α0°0°α90°90°90°α180°k0k0不存在k03个注意点——与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．易误警示(十一)求直线方程的易误点[典例]过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为_______________________．已知直线l过(2,1)，(m,3)两点，则直线l的方程为____________________．[全盘巩固]1．(2014·攀枝花模拟)直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是()A.π6B.π3C.2π3D.5π62．(2014·哈尔滨模拟)如果f′(x)是二次函数，且f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y＝f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是()A.0，π3B.π3，π2C.π2，2π3D.π3，π3.如图所示，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则()A．k1k2k3B．k3k1k2C．k3k2k1D．k1k3k24．直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，所有直线都通过定点()A.－12，3B.12，3C.12，－3D.－12，－35．(2014·绵阳模拟)直线l1：x＋3y－7＝0，l2：kx－y－2＝0与x轴的正半轴及y轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则k的值为()A．－3B．3C．1D．26．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是()ABCD7．已知直线l的倾斜角α满足3sinα＝cosα，且它在y轴上的截距为2，则直线l的方程是____________．8．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．9．若三点A(2,3)，B(3,2)，C12，m共线，则实数m＝________.10．已知A(1，－2)，B(5,6)，直线l经过AB的中点M，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．11．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．12．如图所示，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝12x上时，求直线AB的方程．第二节直线的交点坐标与距离公式【考纲下载】1．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线的交点2．三种距离点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B21．两条直线位置关系与其对应方程组的解之间有何关系？提示：两条直线相交⇔方程组有唯一解；两条直线平行⇔方程组无解；两条直线重合⇔方程组有无穷多解．2．使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式；使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x、y的系数对应相等．1．(教材习题改编)原点到直线x＋2y－5＝0的距离是()A．1B.3C．2D.52．两条直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋4＝0的交点为()A.25，95B.－25，95C.25，－95D.－25，－953．已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为()A.85B.32C．4D．84．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是2，则直线l1的方程为____________．5．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一点，则b＝________.考点一两直线的交点问题[例1](1)经过直线l1：x＋y＋1＝0与直线l2：x－y＋3＝0的交点P，且与直线l3：2x－y＋2＝0垂直的直线l的方程是____________．(2)当0k0.5时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第________象限．【互动探究】若将本例(1)中条件“垂直”改为“平行”，试求l的方程．【方法规律】经过两条直线交点的直线方程的设法经过两相交直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(这个直线系方程中不包括直线A2x＋B2y＋