函数单调性与奇偶性典型例题讲解

判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x－1x；解：(1)f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．又f(－x)＝(－x)－1－x＝－(x－1x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|；(2)易知f(x)的定义域为R，它关于原点对称，且f(－x)＝|－x＋2|＋|－x－2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)，∴f(x)是偶函数；(3)①当x＜0时，－x＞0，且f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；②当x＞0时，－x＜0，且f(－x)＝(－x)2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)．综上所述，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，总有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)f(x)＝x2＋x，x＜0－x2＋x，x＞0．奇偶函数的图象及应用已知函数f(x)＝1x2＋1在区间[0，＋∞)上的图象如图2－2－4所示，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据．图2－2－4【思路探究】先证明f(x)是偶函数，依据其图象关于y轴对称作图．解：∵f(x)＝1x2＋1，∴f(x)的定义域为R．又对任意x∈R，都有f(－x)＝1(－x)2＋1＝1x2＋1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．则f(x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示：1．利用函数的奇偶性作用，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称，画图象时，一般先找出一些关键点的对称点，然后连点成线．2．由于奇函数、偶函数图象的对称性，我们可以由此得到作函数图象的简便方法，如作出函数y＝|x|的图象．因为该函数为偶函数，故只需作出x≥0时的图象，对x≤0时的图象，关于y轴对称即可．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图2－2－5所示，则不等式f(x)＜0的解集是________．图2－2－5解：注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思想方法画全函数f(x)在[－5，5]上的图象(如图)，数形结合，得f(x)＜0的解集为{x|－2＜x＜0或2＜x≤5}．【答案】(－2，0)∪(2，5]利用函数的奇偶性求解析式已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．从而－f(x)＝－x3－x＋1，即f(x)＝x3＋x－1.∴x＜0时，f(x)＝x3＋x－1．解：∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0．令x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1．∴f(x)＝x3＋x－1，x＜00，x＝0x3＋x＋1，x＞0．1．本题在求x＜0时，f(x)的解析式，用了化归的思想，即把待求x＜0的范围向已知范围x＞0转化．2．如果奇函数f(x)在原点处有定义，则f(0)＝0．解：①当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1．又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)＝－x3－x＋1.∴f(x)＝x3＋x＋1，x＞0－x3－x＋1，x＜0．变式：已知f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x＞0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．已知f(x)是R上的偶函数，在区间(0，＋∞)上是增函数，若有f(－2a＋3)＞f(2a－1)成立，求实数a的取值范围．解：因偶函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，故其图象关于y轴对称，且在区间(－∞，0)上是减函数．又f(－2a＋3)＞f(2a－1)成立，根据f(x)图象性质可知：|－2a＋3|＞|2a－1|．两边平方得：(－2a＋3)2＜(2a－1)2，整理得：8＞8a，解a＜1，所以实数a的取值范围为(－∞，1)．请关注：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，在利用f(x1)与f(x2)的大小关系推出x1与x2的关系时，必须要注意x1与x2是否属于同一个单调区间，若不属于同一个单调区间，需要利用奇偶性进行必要的转化，我们在解题中一定不要忽略这一点．1．利用奇偶函数图象的对称性，我们可以作出函数的大致图象，然后观察图象得出结论．2．已知奇偶函数在某个区间上的解析式，我们利用对称性可求出这个区间的对称区间上的解析式．要注意“求谁设谁”．3．解含“f”的不等式，应具备两个方面：一是能转化为f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)的形式；二是f(x)的单调性已知．特别是f(x)为偶函数时，应把不等式f(x1)＜f(x2)转化为f(|x1|)＜f(|x2|)的形式，利用x∈[0，＋∞)的单调性求解．1．函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则a＝________.解：由题意知，区间[2a－3，a]关于原点对称，∴2a－3＝－a，且2a－3＜－a，解之得a＝1．【答案】13．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝1，则f(－2)的值为________．解：∵当x＞0时，f(x)＝1，∴f(2)＝1，又f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－1．【答案】－14．已知f(x)＝ax3－bx＋1(a，b∈R)，若f(－2)＝－1，则f(2)的值＝_________．3解：易见f(2)＝8a－2b＋1，………①f(－2)＝－8a＋2b＋1，……②由①＋②得，f(2)＋f(－2)＝2，又f(－2)＝－1，∴f(2)＝3．解：令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0．又令a＝－x，b＝x，代入f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，得f(－x＋x)＝f(－x)＋f(x)，即0＝f(－x)＋f(x)．∴f(－x)＝－f(x)．注意到函数f(x)的定义域为R，∴f(x)为奇函数．拓展提升：函数f(x)，x∈R，若对于任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)．求证：f(x)为奇函数．对抽象函数奇偶性的判定，若无具体的解析式，则需要利用给定的函数方程关系式，对变量a，b赋值，使其变为含有f(x)，f(－x)的式子，再加以判定．5．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x．(1)求出函数f(x)在R上的解析式；(2)画出函数f(x)的图象．解：(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；②当x＜0时，－x＞0，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x．综上所述，f(x)＝－x2－2x，x＜00，x＝0x2－2x，x＞0．(2)图象如图：已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的x，y∈R，有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)．(1)求f(0)，f(1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论．解：(1)在f(xy)＝xf(y)＋yf(x)中，令x＝y＝0，得f(0)＝0＋0＝0，即f(0)＝0.令x＝y＝1，得f(1)＝1·f(1)＋1·f(1)，∴f(1)＝0；(2)∵f(1)＝f[(－1)·(－1)]＝(－1)f(－1)＋(－1)f(－1)＝0，∴f(－1)＝0．又对任意的x∈R，f(－x)＝f[(－1)·x]＝(－1)f(x)＋xf(－1)＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数．证明：f(x)＝x＋1x在(－∞，－1)上是增函数．[证明]设x1，x2是(－∞，－1)内的任意两个不相等的负实数，且x1x2，则Δx＝x2－x10，Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)(x1x2－1)x1x2，∵x1x2－1，∴x1x210.∴x1x2－10，∴Δy＝f(x2)－f(x1)0.所以f(x)＝x＋1x在(－∞，－1)上是增函数．7．已知函数f(x)＝－(x－2)2，x＜2(3－a)x＋5a，x≥2满足对任意x1≠x2,都有f(x1)－f(x2)x1－x2＞0成立，则实数a的取值范围是________．解：对任意x1≠x2，都有f(x1)－f(x2)x1－x2＞0成立f(x)为减函数,所以3－a＞02(3－a)＋5a≥0，解得－2≤a＜3．∴实数a的取值范围是[－2，3)．熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：任意取x1，x2∈[a，b]，那么：(1)fx1－fx2x1－x2＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数．fx1－fx2x1－x2＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．例2.已知函数f(x)对任意x，y∈R有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，有f(x)0,f(1)=－23.(1)判断f(x)在R上的单调性并加以证明；(2)解不等式：f(x2－x)+f(3x)+20.分析：本题考查抽象函数及其应用，解题的关键是根据题设中的条件灵活赋值构造出函数成立的条件以及单调性证明中需要的条件．证明：(1)任取定义域(－∞，＋∞)内x1、x2且x1＜x2，则x2－x1＞0，∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x2－x1＋x1)＝f(x1)－f(x2－x1)－f(x1)＝－f(x2－x1)0，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在(－∞,＋∞)上单调递减．(2)∵f(1)=－23，∴－2＝f(1)+f(1)+f(1)＝f(3)，由已知得f(x2－x)+f(3x)－2=f(3)．∴f(x2－x+3x)＜f(3)又∵f(x)在R上递减，∴x2－x+3x＜3,∴x2+2x－3＜0∴－3＜x＜1.∴原不等式的解集为{x|－3＜x＜1}．变式：定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x0时，f(x)1，且对任意的a，b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．(1)证明：f(0)＝1；(2)证明：对任意的x∈R，恒有f(x)0；(3)证明：f(x)是R上的增函数；(4)若f(x)·f(2x－x2)1，求x的取值范围．解析(1)令a＝b＝0，则f(0)＝f2(0)．又f(0)≠0，∴f(0)＝1.(2)当x0时，－x0，∴f(0)＝f(x－x)＝f(x)·f(－x)＝1.∴f(－x)＝1f（x）0.又x≥0时f(x)≥10，∴x∈R时，恒有f(x)0.(3)设x1x2，则x2－x10.∴f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)·f(x1)．∵x2－x10，∴f(x2－x1)1.又f(x1)0，∴f(x2－x1)·f(x1)f(x1)．∴f(x2)f(x1)．∴f(x)是R上的增函数．(4)由f(x)·f(2x－x2)1，f(0)＝1得f(3x－x2)f(0)．又f(x)是R上的增函数，∴3x－x20.∴0x3.例3.已知函数f(x)=x|x-a|+2x.（－4≤a≤4）(1)求f(x)的单调区间；解：⑴f(x)=x|x-a|+2x=x2+(2-a)x(x≥a)-x2+(2+a)x(xa)当x≥a,f(x)=x2+(2-a)x对称轴x=a-22当xa,f(x)=-x2+(2-a)x对称轴x=a+22①当aa-22即4a-2时，f(x)增区间为（－∞,a）和（a-22,+∞）减区间为(a,a-22)；②当a-22≤a≤a+22即－2≤a≤2时，f(x)在（－∞,+∞）上单调递增；③当aa+22即2a4时，f(x)增区间为（－∞,a+22）和（a,+∞）减区间为(a+22,a)例3.已知函数f(x)=x|x-a|+2x.（－4≤a≤4）(2)若对任意x∈[1,2]，f(x)2x+1恒成立，求a的取值范围.⑵对任意x∈[1,2]，f(x)2x+1恒成立等价于：任意x∈[1,2]，|x-a|1x即：x-1xax+1x又∵y=x-1x在[1,2]上递增，y=x