导与练普通班2017届高三数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式课

第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式最新考纲1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,sincosxx=tanx.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知识链条完善考点专项突破类题探源精析知识链条完善把散落的知识连起来【教材导读】1.同角三角函数的基本关系中,对任意角均成立吗?提示:在tanα=sincos的关系中,须保证tanα有意义,所以须使α≠π2+kπ,k∈Z.2.诱导公式的功能是什么?提示:负角化正角,大角化小角,再求值.知识梳理1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系sin2α+cos2α=;1(2)商数关系tanα=sincos.2.诱导公式组序一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦sinα-sinα-sinαsinαcosα余弦cosα-cosαcosαsinα-sinα正切tanαtanα-tanαcosα-cosα-tanα【重要结论】诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限.“奇”与“偶”指的是诱导公式k·π2+α中的整数k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化,若k是奇数,则正、余弦互变;若k为偶数,则函数名称不变.“符号看象限”指的是在k·π2+α中,将α看成锐角时k·π2+α所在的象限.夯基自测1.(2015泰安模拟)sin600°的值为()(A)-12(B)-32(C)12(D)32B解析:sin600°=sin(360°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=-sin60°=-32.故选B.2.(2015高考福建卷)若sinα=-513,且α为第四象限角,则tanα的值等于()(A)125(B)-125(C)512(D)-512D解析:因为sinα=-513,且α为第四象限角,所以cosα=1213,所以tanα=-512.故选D.3.(2016淄博实验中学检测)已知tanα=2,则sin2α-sinαcosα的值是()(A)25(B)-25(C)-2(D)2A解析:sin2α-sinαcosα=222sinsincossincos=22tantantan1,把tanα=2代入,原式=25.故选A.4.若α=11π3,则tanαcosα等于()(A)12(B)-12(C)-32(D)32C解析:若α=11π3,则tanαcosα=sincos·cosα=sinα=sin11π3=sin(4π-π3)=-sinπ3=-32.解析:因为x∈(π4,π2),所以sinxcosx,即cosx-sinx0,所以(cosx-sinx)2=1-2sinxcosx=14,所以cosx-sinx=-12.5.已知sinxcosx=38,且x∈(π4,π2),则cosx-sinx=.答案:-12考点专项突破在讲练中理解知识考点一同角三角函数的基本关系【例1】(1)(2016唐山模拟)已知2sin2α=1+cos2α,则tan2α等于()(A)-43(B)43(C)-43或0(D)43或0解析:(1)因为222sin21cos2,sin2cos21,所以sin20,cos21,或4sin2,53cos2,5所以tan2α=0或tan2α=43.故选D.答案:(1)D(2)(2015银川模拟)若tanα=-43,则sin4cos5sin2cos=,sin2α+2sinαcosα=.解析:(2)sin4cos5sin2cos=tan45tan2=4434523=87.sin2α+2sinαcosα=222sin2sincossincos=22tan2tan1tan=168931619=-825.答案:(2)87-825反思归纳同角三角函数关系式的应用技巧(1)利用sin2α+cos2α=1可实现α的正弦、余弦的互化,利用sincos=tanα可以实现角α的弦切互化.(2)关系式的逆用及变形用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.(3)sinα,cosα的齐次式的应用:分式中分子与分母是关于sinα,cosα的齐次式,或含有sin2α,cos2α及sinαcosα的式子求值时,可将所求式子的分母看作“1”,利用“sin2α+cos2α=1”代换后转化为“切”后求解.【即时训练】(1)(2015高台质检)已知tanα=2,则2212sincossincos的值是()(A)13(B)3(C)-13(D)-3解析:(1)原式=2222sincos2sincossincos=2sincossincossincos=sincossincos=tan1tan1=2121=3.故选B.答案:(1)B(2)已知α是三角形的内角,且sinα+cosα=15,则tanα=.解析:(2)联立方程221sincos,5sincos1①，②由①得cosα=15-sinα,将其代入②,整理得25sin2α-5sinα-12=0.因为α是三角形的内角,所以3sin,56cos5，所以tanα=-43.答案:(2)-43考点二三角函数的诱导公式【例2】(2015广州模拟)已知α为第三象限角,且f(α)=3ππsincostanπ22πsintan2π2.(1)化简f(α);解:(1)f(α)=cossintancostan=-sinα.(2)若α=-323π,求f(α)的值;(3)若f(α)=265,求cos(π+α)的值.解:(2)f(α)=f(-323π)=-sin(-323π)=sin323π=sin23π=32.(3)因为f(α)=-sinα=265,所以sinα=-265,又α为第三象限角,所以cosα=-21sin=-22615=-15,所以cos(π+α)=-cosα=15.反思归纳利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法:①分析结构特点,选择恰当公式;②利用公式化成单角三角函数;③整理得最简形式.(2)化简要求:①化简过程是恒等变形;②结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.解:cos(5π6-α)=cos[π-(π6+α)]=-cos(π6+α)=-33,即cos(5π6-α)=-33.【即时训练】已知cos(π6+α)=33,求cos(5π6-α)的值.诱导公式与同角关系的综合应用(高频考点)考点三【例3】(1)(2015衡水模拟)已知cos(5π12+α)=13,且-πα-π2,则cos(π12-α)等于()(A)223(B)13(C)-13(D)-223解析:(1)因为(512π+α)+(π12-α)=π2,所以cos(π12-α)=sin[π2-(π12-α)]=sin(5π12+α).因为-πα-π2,所以-7π12α+5π12-π12.又cos(5π12+α)=130,所以-π2α+5π12-π12,所以sin(5π12+α)=-25π1cos12=-2113=-223.故选D.答案:(1)D(2)(2015福州模拟)计算:3πtanπcos2πsin2cos3πsin3π=.解析:(2)原式=tancoscoscossin=-1.答案:(2)-1反思归纳熟练运用诱导公式和同角三角函数基本关系,并确定相应三角函数值的符号是解题的关键.另外,切化弦是常用的规律技巧.【即时训练】(1)若α为三角形的一个内角,且sinα+cosα=23,则这个三角形是()(A)正三角形(B)直角三角形(C)锐角三角形(D)钝角三角形解析:(1)因为(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=49,所以sinαcosα=-5180,所以α为钝角.故选D.答案:(1)D(2)(2015重庆模拟)若sin(α+π6)=-513,且α∈(π2,π),则sin(α+2π3)=.解析:(2)因为π2απ,所以2π3α+π67π6,cos(α+π6)=-25113=-1213,而sin(α+2π3)=sin(π2+α+π6)=cos(α+π6)=-1213.答案:(2)-1213备选例题解析:f(23π)=cos(-2π3)+2cos43π+3cos83π+4cos103π=cos23π+2cos(π+π3)+3cos(2π+23π)+4cos(2π+π+π3)=-cosπ3-2cosπ3+3cos23π-4cosπ3=-12-2×12+3×(-12)-4×12=-5.故选D.【例1】(2015合肥模拟)设f(x)=cos(-x)+2cos2x+3cos4x+4cos5x,则f(23π)等于()(A)-1(B)-72(C)-92(D)-5【例2】证明:π11πsin2πcosπcoscos229πcosπsin3πsinπsin2=-tanα.证明:左边=πsincossincos5π2πcossinπsinπsin4π4=2πsincoscos2πcossinsinsin2=-sincos=-tanα=右边,所以原式成立.【例3】在△ABC中,若sin(2π-A)=-3sin(π-B),3cosA=-2cos(π-B),求△ABC的三个内角.解:由已知得sin2sin,3cos2cos,ABAB①②①2+②2得sin2A+3cos2A=2,所以1-cos2A+3cos2A=2,所以2cos2A=1,即cosA=22或cosA=-22.当cosA=22时,cosB=32,又A,B是三角形的内角,所以A=π4,B=π6,所以C=π-(A+B)=712π.当cosA=-22时,cosB=-32.又A,B是三角形的内角,所以A=34π,B=56π,不合题意.综上可知,A=π4,B=π6,C=712π.类题探源精析把复杂的问题简单化同角关系与诱导公式结合解题教材源题:化简:(1)πcos25sinπ2·sin(α-2π)·cos(2π-α);解:(1)原式=πcos2πsin2·sinα·cosα=sincos·sinα·cosα=sin2α.(2)cos2(-α)-tan360sin。.解:(2)原式=cos2α-tansin=3cos1cos.方法总结三角函数式化简目标方向(1)用同角关系中切弦互化,统一函数名.(2)用诱导公式统一角.(3)用因式分解将式子变形,化为最简.【源题变式】(2015淮南模拟)已知f(x)=3sin2πcosπ211cos3πsinπ2xxxx,则f(-21π4)=.解析:因为f(x)=sinsinπcosπsin6π2xxxx=2sinπcossin2xxx=22sincosxx=-tan2x.所以f(-214π)=-tan2(-214π)=-tan2(-5π-π4)=-tan2(-π4)=-1.答案:-1