导与练普通班2017届高三数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第4节函数y=Asin(ωx+φ)的图象

第4节函数y=Asin(ωx+)的图象及应用最新考纲1.了解函数y=Asin(ωx+)的物理意义;能画出函数y=Asin(ωx+)的图象,了解参数A,ω,对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知识链条完善考点专项突破经典考题研析知识链条完善把散落的知识连起来【教材导读】1.得到y=Asin(ωx+)的图象有哪些方法?提示:有两种方法:一是用五点作图法,列表、描点、连线成图,二是由y=sinx平移伸缩变换得到.2.如果将函数y=Asinωx的图象向左平移m个单位或向右平移m(m0)个单位,得函数y=Asin(ωx+m)或y=Asin(ωx-m)的图象吗?提示:不是,常说的“左加右减”指的是向左平移m个单位时,x加上m,向右平移m个单位时,x减去m,而不是ωx加上或减去m,即由y=Asinωx向左平移m个单位得y=Asin[ω(x+m)],由y=Asinωx向右平移m个单位得y=Asin[ω(x-m)].提示:不一致,“先平移,后伸缩”的平移单位长度为||,而“先伸缩,后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等.3.利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移长度一致吗?知识梳理1.y=Asin(ωx+)的有关概念振幅周期频率相位初相y=Asin(ωx+)(A0,ω0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时AT=2πf=1T=2πx2.用“五点法”作函数y=Asin(ωx+)(A0,ω0)的图象的一般步骤(1)定点:如表.x-π2π3π22πωx+0π2π3π22πy=Asin(ωx+)0A0-A0(2)作图,在坐标系中描出这五个关键点,用光滑的曲线顺次连接这些点,就得到y=Asin(ωx+)在一个周期内的图象.(3)扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得y=Asin(ωx+)在R上的图象.3.由函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+)(A0,ω0)的图象的步骤法一法二画出y=sinx的图象画出y=sinx的图象得到y=sin(x+)的图象得到y=sinωx的图象得到y=sin(ωx+)的图象得到y=sin(ωx+)的图象得到y=Asin(ωx+)的图象得到y=Asin(ωx+)的图象【重要结论】1.“五点法”作图中,相邻两点的横向距离均为4T.2.在正弦函数图象、余弦函数图象中,相邻的两个对称中心以及相邻的两条对称轴之间的距离均为半个周期.3.正弦函数和余弦函数一定在对称轴处取得最值.夯基自测解析:将函数y=sin4x的图象向右平移π12个单位可得到函数y=sin[4(x-π12)]=sin(4x-π3)的图象.1.(2015高考山东卷)要得到函数y=sin(4x-π3)的图象,只需将函数y=sin4x的图象()(A)向左平移π12个单位(B)向右平移π12个单位(C)向左平移π3个单位(D)向右平移π3个单位B解析:由图象可知2T=x0+π4-x0=π4,即T=π2=2π,故ω=4.2.(2016柳州模拟)若函数y=sin(ωx+)(ω0)的部分图象如图,则ω等于()(A)5(B)4(C)3(D)2B解析:函数y=2sinπ24x的振幅为2,周期T=2π2=π,所以频率为1π,初相为-π4.3.y=2sinπ24x的振幅、频率和初相分别为()(A)2,1π,-π4(B)2,12π,-π4(C)2,1π,-π8(D)2,12π,-π8A解析:函数y=sinx的图象向左平移π2个单位,得到函数f(x)=sin(x+π2)=cosx的图象,f(x)=cosx为偶函数,排除选项A;f(x)=cosx的周期为2π,排除选项B;因为f(π2)=cosπ2=0,所以f(x)=cosx的图象不关于直线x=π2对称,排除选项C;f(-π2)=cos（-π2)=0,所以f(x)=cosx的图象关于点(-π2,0)对称.4.将函数y=sinx的图象向左平移π2个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是()(A)y=f(x)是奇函数(B)y=f(x)的周期为π(C)y=f(x)的图象关于直线x=π2对称(D)y=f(x)的图象关于点(-π2,0)对称D解析:由题意知,平移后所得函数为f(x)=sin(2x-2+π4),若其图象关于y轴对称,则sin(-2+π4)=±1,所以-2+π4=kπ+π2(k∈Z),所以=-π2k-π8(k∈Z),当k=-1时,取得最小正值3π8.5.若将函数f(x)=sin(2x+π4)的图象向右平移个单位,所得图象关于y轴对称,则的最小正值是.答案:3π8考点专项突破在讲练中理解知识考点一【例1】已知函数y=3sin(12x-π4).(1)用五点法作出函数的图象;函数y=Asin(ωx+)(A0,ω0)的图象及其变换解:(1)列表:12x-π40π2π32π2πxπ232π52π72π92πy=3sin(12x-π4)030-30描点、连线,如图所示(2)说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的.解:(2)先把y=sinx的图象上所有点向右平移π4个单位,得到y=sin(x-π4)的图象,再把y=sin(x-π4)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin(12x-π4)的图象,最后将y=sin(12x-π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin(12x-π4)的图象.反思归纳(1)用“五点法”作y=Asin(ωx+)的简图,主要是通过列表,计算得出五点坐标,描点后得到.(2)函数图象变换要注意是“先平移后伸缩”还是“先伸缩后平移”,对于后者可利用ωx+=ω(x+)来确定平移的单位长度.【即时训练】(1)(2016宁波模拟)将函数y=sinx图象上所有的点向左平移π3个单位长度,再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图象的函数解析式为()(A)y=sin(2x+π6)(B)y=sin(2x+π3)(C)y=sin(2x+π3)(D)y=sin(2x-π3)解析:(1)将函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3个单位后得到函数y=sin(x+π3)的图象,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数y=sin(12x+π3)的图象.故选B.(2)(2015德州月考)函数y=sin2x的图象向右平移(0)个单位,得到的图象关于直线x=π6对称,则的最小值为()(A)512π(B)56π(C)1112π(D)116π解析:(2)令y=f(x)=sin2x,则y=f(x-)=sin[2(x-)]=sin(2x-2),且其图象恰好关于x=π6对称,所以2×π6-2=π2+kπ,k∈Z.所以的最小值为512π.故选A.考点二求函数y=Asin(ωx+)+B的解析式【例2】(2015吉林质检)已知函数f(x)=Asin(ωx+)(x∈R,A0,ω0,0π2)的部分图象如图所示,P是图象的最高点,Q为图象与x轴的交点,O为坐标原点,若OQ=4,OP=5,PQ=13.(1)求函数y=f(x)的解析式;解:(1)由条件知cos∠POQ=2224513245=55,所以P(1,2).由此可得振幅A=2,周期T=4×(4-1)=12.又2π=12,则ω=π6.将点P(1,2)代入f(x)=2sin(π6x+),得sin(π6+)=1.因为0π2,所以=π3.于是f(x)=2sin(π6x+π3).解:(2)由题意可得g(x)=2sin[π6(x-2)+π3]=2sinπ6x.所以h(x)=f(x)·g(x)=4sin(π6x+π3)·sinπ6x=2sin2π6x+23sinπ6x·cosπ6x=1-cosπ3x+3sinπ3x=1+2sin(π3x-π6).当x∈(-1,2)时,π3x-π6∈(-π2,π2),所以sin(π3x-π6)∈(-1,1),即1+2sin(π3x-π6)∈(-1,3).于是函数h(x)的值域为(-1,3).(2)将函数y=f(x)的图象向右平移2个单位后得到函数y=g(x)的图象,当x∈(-1,2)时,求函数h(x)=f(x)·g(x)的值域.反思归纳确定y=Asin(ωx+)+B(A0,ω0)的解析式的步骤(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A=2Mm,B=2Mm.(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=2πT.(3)求,常用方法有:①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.②五点法:确定值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.【即时训练】(1)(2015安庆模拟)函数f(x)=2sin(ωx+)(ω0,-π2π2)的部分图象如图所示,则ω,的值分别是()(A)2,-π3(B)2,-π6(C)4,-π6(D)4,π3解析:(1)2T=1112π-512π=π2,所以T=π,则ω=2.当x=512π时,2×512π+=π2+2kπ,k∈Z,解得=-π3+2kπ,k∈Z,根据条件,当k=0时,=-π3成立.故选A.答案:(1)A(2)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω0,-π2≤≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22,且过点(2,-12),则函数的解析式为.解析:(2)据已知两个相邻最高点和最低点距离为22,可得22112T=22,解得T=4,故ω=2πT=π2,即f(x)=sin(πx2+).又函数图象过点(2,-12),故f(2)=sin(π+)=-sin=-12.又-π2≤≤π2,解得=π6,故f(x)=sin(π2x+π6).答案:(2)f(x)=sin(π2x+π6)三角函数模型的应用解:(1)f(8)=10-3cos（π12×8)-sin（π12×8)=10-3cos2π3-sin2π3=10-3×（-12)-32=10.故实验室这一天上午8时的温度为10℃.考点三【例3】(2014高考湖北卷)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-3cosπ12t-sinπ12t,t∈[0,24).(1)求实验室这一天上午8时的温度;解:(2)因为f(t)=10-2(32cosπ12t+12sinπ12t)=10-2sin(π12t+π3),又0≤t24,所以π3≤π12t+π37π3,-1≤sin(π12t+π3)≤1.当t=2时,sin(π12t+π3)=1;当t=14时,sin(π12t+π3)=-1.于是f(t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.(2)求实验室这一天的最大温差.反思归纳三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面,一是已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则.二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.【即时训练】(2015高考陕西卷)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(π6x+)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()(A)5(B)6(C)8(D)10解析:因为函数y=3sin（π6x+)+k的最小值为2,所以-3+k=2,得k=5,故这段时间水深的最大值为3+5=8(m).故选C.备选例题【例1】(2015厦门模拟)为得到函数y=cos(x+π3)的图象,只需将函数y=sinx的图象()(A)向左平移π6个单位长度(B)向右平移π6个单位长度(C)向左平移5π6