微积分课间2.1 数列的极限

第二章极限与连续2.1数列的极限R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正形的面积126nnA,,,,,321nAAAAS2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211X第一天截下的杖长为;212122X为第二天截下的杖长总和;2121212nnXn天截下的杖长总和为第nnX2111一列有序排列的数,,,,21nxxx（1）称为一个（无穷）数列，其中的每个数称为数列的项，nx称为第n项或通项(一般项)。数列(1)记为}{nx。例如,,8,4,2,,81,41,21简记为。简记为}21{n;,2n{2}n。;,21n1.在几何上一个数列可看成实数轴上的一个点列，也可看成实数轴上的一个动点1x2x3x4xnx注：2.数列可看成是以自然数为自变量的函数：xn=f(n).其中n为正整数6/28.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn播放二、数列的极限问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?nxn.1)1(1,1无限接近于无限增大时当nxnnn通过上面演示实验的观察:.,,011越接近与越小说明来度量之间的接近程度可用两个数的差无限地接近与时即当时都无限地接近这个数列当baababbaxnnn.1,,,,1,0,01,1小于事先指定的小正数在此时刻以后增大到一定程度即当总有那么一个时刻化过程中无限增大的变在指定一个多么小的正数即不论事先可任意小的过程中就是在所谓无限接近于无限接近于时当越来越小的增大而随这个数列的特点是nnnnxnnxnxnnx,1001给定,10011n由,100时只要n,10011nx有,10001给定,1000时只要n,1000011nx有,100001给定,10000时只要n,100011nx有1nxnnn11)1(1数列极限的直观定义对{xn}:x1,x2,x3,…,xn,…若随着n的无限增大(记作n)，有xn无限接近某个定数a，(允许某些xn甚至全部xn等于a)，则称{xn}有极限(为a)或收敛(于a)，记作:xn=a或xna(n)nlim问题:怎样用数学语言来精确地刻划数列极限的概念，即表达：随着项数n的无限增大，有项xn无限接近(或等于)a？随着n，有xn无限接近(或等于)常数a，也就是|xn-a|无限接近(或等于)0任给定|xn-a|的上界，不论它有多么小，只要n足够大（n某个N），总可以使|xn-a|。于是有下面数列极限的定义（用“—N”语言表达）定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数N,使得对于nN时的一切xn,不等式axn都成立,那末就称数列{xn}有极限（为a）,或者称数列{xn}收敛（于a）,记为,limaxnn或).(naxn如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：1）（0）必须可以任意小。2）N与有关。3）若N()存在，则必不唯一。4)收敛性和极限值都与数列中有限个项无关。5）数列极限的定义未给出求极限的方法，只能用定义验证某常数是不是数列的极限。例3.1)1(lim1nnnn证明证1nx1)1(1nnnn1,0任给,1nx要,1n只要,1n即所以,]1[N取,时则当Nn1)1(1nnn总有.1)1(lim1nnnn.证毕14/28