趋势外推预测法(精)

第3章趋势外推预测法•基本思想•拟合直线（方程）法•加权拟合直线（方程）法•曲线趋势外推法的引入一、趋势外推法的基本思想()yft●某些客观事物的发展变化相对于时间推移，常表现出一定的规律性：如：经济现象（指标）随着时间的推移呈现某种上升或下降趋势，这时，若作为预测对象的该经济现象（指标）变化又没有明显的季节性波动迹象，理论上就可以找到一条合适的函数曲线反映其变化趋势。可建其变化趋势模型（曲线方程）：●当有理由相信这种趋势可能会延伸到未来时，对于未来时点的某个Ｙ值（经济指标未来值）就可由上述变化趋势模型（直线方程）给出。这就是趋势外推的基本思想。●趋势外推的条件有２：变化趋势的时间稳定性、曲线方程存在。02004006008001000120019931994199519961997199819992000200120022003利润额yt某家用电器厂1998～2008年利润额数据年份19931994199519961997199819992000200120022003利润额yt2003003504005006307007508509501020yabx某商场某种商品过去9个月的销量数据某商场过去9年市场需求量统计数据051015202530354045012345678910销售量（万件）051015202530354045012345678910销售量（万件）010002000300040005000600070008000900010000012345678910总需求量（件）2yabxcxbtyae()yft●基于２大条件（趋势的时间稳定性、曲线方程存在）趋势曲线：惯性原理：一切物体在没有受到外力作用时，总保持匀速直线运动状态或者静止状态。但匀速直线运动状态或者静止状态是相对的:惯性原理的两个前提：周围没有引力场吸引；前方没有障碍物阻挡。假设条件：1.技术（或经济）发展的因素，不但决定了过去技术的发展，而且在很大程度上决定了其未来的发展。即某项技术在其过去、现在、未来的发展过程中，内、外因相对保持不变。2.其变化属渐进式变化，而不属于跳跃式变化。二、趋势外推法：原理与假设三个例子：预测未来两期的指标水平某家用电器厂1998～2008年利润额序列数据020040060080010001200140019921993199419951996199719981999200020012002200320042005利润额yt系列2线性(利润额yt)y2004预测y2005预测0510152025303540450123456789101112某商场某种商品过去9个月的销量序列数据y11预测Y10预测0500010000150002000025000300000123456789101112y2004预测y2005预测某商场过去9年市场需求量序列数据3.1直线趋势外推法•适用条件：时间序列数据（观察值）呈直线上升或下降的情形。该预测变量的长期趋势可以用关于时间的直线描述，通过该直线趋势的向外延伸（外推），估计其预测值。•两种处理方式：拟合直线方程与加权拟合直线方程02004006008001000120019921993199419951996199719981999200020012002200320042005利润额yt02004006008001000120019921993199419951996199719981999200020012002200320042005利润额yt例3.1某家用电器厂1993～2003年利润额数据资料如表3.1所示。试预测2004、2005年该企业的利润。年份19931994199519961997199819992000200120022003利润额yt2003003504005006307007508509501020？？02004006008001000120019921993199419951996199719981999200020012002200320042005利润额yt系列2线性(利润额yt)?A拟合直线方程法22yabx11yabx33yabx11yabx使用最小二乘法拟合直线•概念：离差与离差平方0246810121234567eeˆttteyy离差：11ˆ()nnttttteyy离差和：2211ˆ()nnitttteyy离差平方和最小拟合程度最好6y6ˆy★最小二乘法原理★★最小二乘法原理★•本质:使历史数据到拟合直线上的离差平方和最小，从而求得模型参数的方法。•演进：法国数学家勒让德于1806年首次发表最小二乘理论。事实上，德国的高斯于1794年已经应用这一理论推算了谷神星的轨道，但直至1809年才正式发表。•应用：最小二乘法也是数理统计中一种常用的方法，在工业技术和其他科学研究中有广泛应用。•运算过程：2211ˆ()nnttttteyy离差平方和2211ˆ()()(,)nnttttttyyyabxQab11111122211111()()()()()()nnttttnnnnttttttttttnnnttttttaybxybxnnnxyxyxxyybnxxxx0QQab112()02()0ntttnttttQybxaaQxybxabx=123456789101112130200400600800100012001993199419951996199719981999200020012002200320042005利润额………………代入相应的x，得出预测值y………………ˆyabx解例3.1某家用电器厂1993~2003年利润额数据资料如表3.1所示。试预测2004、2005年该企业的利润。年份19931994199519961997199819992000200120022003利润额20030035040050063070075085095010200200400600800100012001993199419951996199719981999200020012002200320042005利润额年份利润额yt199320019943001995350199640019975001998630199970020007502001850200295020031020xt1234567891011xt2149162536496481100121xt*yt2006001050160025003780490060007650950011220预测值y191273.7356.4439.1521.8604.5687.2769.9852.6935.31018∑6650665064900011111221111()()()nnttttnnnttittttnnttttaybxnnnxyxybnxx108.3a82.7b108.382.7yx200412,1100.7xy年，200513,1183.4xy年，111111nnnttttttaybxyynnn02004006008001000120012345678910111213020040060080010001200-5-4-3-2-1012345671111222111()()()nnnnttttttttttnnnttttttnxyxyxybnxxx对于时间序列，xt的取值为1到n,即自变量xt的取值等于其下标t。采用正负对称编号法可简化计算。特别，当n为奇数时，取其中位数的编号为0，可使10nttx拟合直线方程法的特点拟合直线方程的一阶差分为常数（一阶导数为常数）ˆty1ˆtybˆty只适用于时间序列呈直线上升（或下降）趋势变化。对时间序列数据，不论其远近都一律同等看待。用最小二乘原理拟合的直线方程消除了不规则因素的影响，使趋势值都落在拟合的直线上。基本过程如下图:2211ˆ()nnttttteyy根据模型预测求解模型参数，确定模型模型检验根据观察的历史数据画出散点图根据曲线形状选择模型(模型识别）拟合直线方程法预测步骤图开始3.2加权拟合直线方程法拟合直线方程法简析：•拟合直线方程法的基本思想是要使预测结果与实际数据的误差的平方和达到最小。•离差平方和是每期的实际值与该期的预测值的偏差值的平方和，意味着：中的每一项都有同样的重要性，即无论这个误差是近期的或是远期的，都赋予同等的权重。•但实际情况是，对于预测精度来说，近期误差比远期的误差更为重要。2211ˆ()nnttttteyytyˆty21ˆ()ntttyy•在拟合直线方程时，按照时间先后，本着重今轻远的原则，对离差平方和进行赋权，然后再按最小二乘原理，使离差平方和达到最小，求出加权拟合直线方程。•由近及远的离差平方和的权重分别为其中，说明对最近期数据赋予最大权重为1，而后有近及远，按比例递减。•各期权重衰减的速度取决于的取值。B：加权拟合直线方程法基本思想0121,,,,,n001,11取值越大（越接近于）衰减速度越慢0取值越小（越接近于）衰减速度越快1？加权拟合直线方程法的过程与模型ˆttyabx设加权拟合直线方程为：0121,,,,n由近及远的离差平方和的权重分别为：20211122222111)ˆ()ˆ()ˆ()ˆ(nnnnnnyyyyyyyynttttnnttttnbxayyyQ1212)()ˆ(nttttnnttttnbxayyyQ1212)()ˆ(求导和对ba0111ntttnnttnntttnxbayaQ01211ntttntnttnnttttnxbxayxbQba？？加权拟合直线方程法的过程与模型使用加权拟合直线方程法解前例3.1某家用电器厂1993~2003年利润额数据资料如下表所示。试预测2004、2005年该企业的利润。年份19931994199519961997199819992000200120022003利润额20030035040050063070075085095010200.8年份xt利润额ytn-ta(n-t)a(n-1)yta(n-1)xtyta(n-1)xta(n-1)xt219931200100.107421.474836521.474836480.1073740.1073741821994230090.134240.265318480.53063680.2684350.5368709121995335080.167858.720256176.1607680.5033161.509949441996440070.209783.88608335.544320.8388613.35544321997550060.2621131.072655.361.310726.55361998663050.3277206.43841238.63041.9660811.796481999770040.4096286.722007.042.867220.07042000875030.512038430724.09632.7682001985020.640054448965.7651.8420021095010.80007607600880200311102001.000010201122011121∑4.57053536.576931302.741036.7180329.53810111ntttnnttnntttnxbay