浙江大学概率论与数理统计第五章

第五章大数定律与中心极限定理本章要解决的问题1.为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计？2.为何能以样本均值作为总体期望的估计？3.为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？4.大样本统计推断的理论基础是什么？答复大数定律中心极限定理设非负r.v.X的期望E(X)存在，则对于任意实数0,)()(XEXP证仅证连续型r.v.的情形dxxfXP)()(dxxfx)(0)(1dxxxf)(XE重要不等式§5.1大数定律设随机变量X的k阶绝对原点矩E(|X|k)存在，则对于任意实数0,kkXEXP)|(|)|(|推论1设随机变量X的方差D(X)存在，则对于任意实数0,2)()|)((|XDXEXP推论2——切贝雪夫(chebyshev)不等式或2)(1)|)((|XDXEXP当2D(X)无实际意义,——马尔可夫(Markov)不等式例1设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中,良种所占比例与1/6比较上下小于1%的概率.解设X表示6000粒种子中的良种数,X~B(6000,1/6)01.0616000XP65000)(,1000)(XDXE)60|1000(|XP2606500017685.010883实际精确计算1060940XP01.0616000XP1059941600060006561kkkkC959036.0用Poisson分布近似计算1060940XP01.0616000XP937934.010599411000!1000kkke取=1000大数定律贝努里（Bernoulli）大数定律设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是每次试验中A发生的概率,则0有0limpnnPAn或1limpnnPAn证引入r.v.序列{Xk}发生次试验第发生次试验第AkAkXk,0,1设,)1(pXPk则pqXDpXEkk)(,)(nXXX,,,21相互独立，nkkAXn1记,11nkknXnYnpqYDpYEnn)(,)(由Chebyshev不等式pnnPA0故0limpnnPAn)(nnYEYPnpq21)(1knkkXEnXP在概率的统计定义中,事件A发生的频率“稳定于”事件A在一次试验中发生的概率是指：nnA频率与p有较大偏差pnnA是小概率事件,因而在n足够大时,可以用频率近似代替p.这种稳定称为依概率稳定.贝努里(Bernoulli)大数定律的意义nnA定义a是一常数，0limaYPnn(或)1limaYPnn则称r.v.序列,,,,21nYYY依概率收敛于常数a,记作aYnPn故pnnnPA,,,,21nYYY是一系列r.v.设0有若在Bernoulli定理的证明过程中，Yn是相互独立的服从(0,1)分布的r.v.序列{Xk}的算术平均值,Yn依概率收敛于其数学期望p.结果同样适用于服从其它分布的独立r.v.序列Chebyshev大数定律,,,,21nXXX相互独立，设r.v.序列(指任意给定n1,相互独立)且具有相同的数学期望和方差nXXX,,,21,2,1,)(,)(2kXDXEkk则0有01lim1nkknXnP或11lim1nkknXnP定理的意义当n足够大时,算术平均值几乎是一常数.具有相同数学期望和方差的独立r.v.序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.算术均值数学期望近似代替可被注2,,,,21nXXX相互独立的条件可以去掉，代之以0112nnkkXDn注1,,,,21nXXX不一定有相同的数学期望与方差，可设,2,1,)(,)(22kXDXEkkkk有011lim11nkknkknnXnP,,,,21nXXX相设r.v.序列,2,1,)(iXEkki则0有01lim1knikinXnP互独立具有相同的分布，且记knikiMXn11注311nPM),,,(21kMMMgnP),,,(21kg则则22nPMknPkM),,,(21kxxxg连续，若第二节中心极限定理一、问题的引入二、基本定理三、典型例题四、小结一、问题的引入实例:考察射击命中点与靶心距离的偏差.这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和,这些因素包括:瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面(如外形、重量等)的误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能见度、温度等)的作用,所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的,并且它们中每一个对总和产生的影响不大.问题:某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的,研究其概率分布情况.二、基本定理定理四（独立同分布的中心极限定理）则随机变量之和的和方差：且具有数学期望同一分布服从相互独立设随机变量),,2,1(0)(,)(,,,,,,221kXDXEXXXkknnkknkknkknXDXEXY111标准化变量nnXnkk1xnnXPxFxxFnkknnnn1lim)(lim)(满足对于任意的分布函数定理四表明:.,数标准正态分布的分布函的分布函数收敛于随机变量序列当nYnxtxt).(deπ2122,0}|{|1,,,),,2,1(0)(,)(,,,,,122122221nkkknnkknkkkknXEBnBkXDXEXXX时使得当若存在正数记和方差：们具有数学期望它相互独立设随机变量李雅普诺夫定理五(李雅普诺夫定理)则随机变量之和的标准化变量nkknkknkknXDXEXZ111nnkknkkBX11满足对于任意的分布函数xxFn)(xBXPxFnnkknkknnn11lim)(limxtxt).(deπ2122定理五表明:.,,,,,,,121近似地服从正态分布很大时当那么它们的和只要满足定理的条件分布服从什么无论各个随机变量nXXXXnkkn(如实例中射击偏差服从正态分布)下面介绍的定理六是定理四的特殊情况.xtnnnxtxpnpnpPxppnn).(deπ21)1(lim,,)10(,),2,1(22恒有对于任意则的二项分布服从参数为设随机变量证明根据第四章第二节例题可知,1nkknX分布律为分布的随机变量－一是相互独立的、服从同其中,)10(,,,21nXXX.1,0,)1(}{1ippiXPiik德莫佛拉普拉斯定理六(德莫佛－拉普拉斯定理),)(pXEk),,,2,1()1()(nkppXDk根据定理四得xpnpnpPnn)1(limxpnpnpXPnkkn)1(lim1xtxt).(deπ2122定理六表明:正态分布是二项分布的极限分布,当n充分大时,可以利用该定理来计算二项分布的概率.下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.三、典型例题.}105{,,)1,0(,,)20,2,1(20201的近似值求记上服从均匀分布且都在区间机变量设它们是相互独立的随个噪声电压一加法器同时收到VPVVkVkkk解,5)(kVE).20,,2,1(12100)(kVDk由定理四,随机变量Z近似服从正态分布N(0,1),例12012100520201kkVZ2012100520V其中}105{VP}20121005201052012100520{VP}387.02012100520{VP}387.02012100100{1VP387.02deπ2112tt)387.0(1.348.0一船舶在某海区航行,已知每遭受一次海浪的冲击,纵摇角大于3º的概率为1/3,若船舶遭受了90000次波浪冲击,问其中有29500～30500次纵摇角大于3º的概率是多少？解将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的,在90000次波浪冲击中纵摇角大于3º的次数为X,则X是一个随机变量,.)31,00090(~bX且例2所求概率为}3050029500{XP.323190000900003050029501kkkk分布律为}{kXP,32310009000090kkk.00090,,1k直接计算很麻烦，利用德莫佛－拉普拉斯定理}3050029500{XP)1(30500)1()1(29500pnpnppnpnpXpnpnpP)1(30500)1(295002deπ212pnpnppnpnptt)1(29500)1(30500pnpnppnpnp,31,90000pn}3050029500{XP225225.9995.0某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元.若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元.设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.解设X为一年中投保老人的死亡数,),,(~pnBX则,017.0,10000pn其中由德莫佛－拉普拉斯定理知,例3}2001000010000{XP}200{XP)1(200)1(pnpnppnpnpXP321.2)1(pnpnpXP.01.0)321.2(1保险公司亏本的概率对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量.设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15.若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布.(1)求参加会议的家长数X超过450的概率;(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.解,)400,,2,1()1(长数个学生来参加会议的家第记以kkXk例4的分布律为则kX15.08.005.0210kkpX,1.1)(kXE易知)400,,2,1(,19.0)(kXDk,4001kkXX而根据独立同分布的中心极限定理，19.04001.14004001kkX随机变量19.04001.1400X),1,0(N近似服从正态分布19.04001.140045019.04001.1400XP}450{XP于是147.119.04001.14001XP;1357.0)147.1(1,)2(议的学生数记有一名家长来参加会以Y),8.0,400(~bY则由德莫佛－拉普拉斯定理知,}350{XP2.08.04008.04003402.08.04008.