(人教版)数学必修五：2.4《等比数列(1)》

2.4等比数列第二章第1课时等比数列的概念与通项公式1.还记得等差数列的定义吗？从________起，每一项与其前一项的差________的数列，称为等差数列．2．等差数列的通项公式：______，是关于n的________．3．还记得指数型函数吗？________.[答案]1.第2项等于同一个常数2.an＝a1＋(n－1)d一次函数式3.y＝c·ax(a0且a≠1)1.等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．即：anan－1＝q(n≥2，q≠0，n∈N*)．注意：(1)等比数列的定义可简述为an＋1an＝q(q为常数，q≠0)．①由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q也不能为0.②an＋1an均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还应注意公比是从第2项起每一项与其前一项之比，不能前后颠倒次序．(2)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第n(n3，n∈N*)项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，但是可以说此数列从第2项起或第(n－1)项起是一个等比数列．(3)常数列都是等差数列，却不一定都是等比数列．例如，各项都为0的常数列，它就不是等比数列；各项都不为0的常数列就是等比数列．观察下面几个数列，其中一定是等比数列的有哪些？(1)数列1,2,6,18,54，…；(2)数列{an}中，已知a2a1＝2，a3a2＝2；(3)常数列a，a，…，a，…；(4)数列{an}中，an＋1an＝q，其中n∈N*.[解析](1)不符合等比数列的定义，故不是等比数列．(2)不一定是等比数列，当数列只有三项时，它是等比数列；当数列多于3项时，a4a3不一定也等于2，故它不一定是等比数列．(3)不一定是等比数列．当a＝0时，aa无意义，它不是等比数列；当a≠0时，aa＝1，数列是等比数列．(4)是等比数列．等比数列的定义用符号表示就是an＋1an＝q(n∈N*)．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则等比数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1(n∈N*)．等比数列的通项公式的推导方法如下：累乘法：设等比数列{an}中，anan－1＝q(n≥2)，那么a2a1＝q，a3a2＝q，…，an－1an－2＝q，anan－1＝q.将以上这(n－1)个式子相乘，得a2a1×a3a2×…×an－1an－2×anan－1＝qn－1，∴ana1＝qn－1，∴an＝a1·qn－1.注意：(1)等比数列通项公式的推导方法，体现了从特殊到一般的思想．(2)已知等比数列的首项和公比，可以求得该数列中的任意一项．(3)在等比数列中，若已知a1，q，n，an四个量中的三个，就可以求出另一个量．(4)等比数列的通项公式可以变形为an＝(a1q)qn，因此等比数列{an}中各项所表示的点(n，an)孤立地分布在第一象限或第四象限，即这些点在曲线y＝(a1q)qx上，因此可以利用函数思想求解等比数列的通项公式．已知等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝________.[答案]－2n或(－2)n[解析]设公比为q，则a3＝a1q2，∴q2＝－8－2＝4，∴q＝±2.∴an＝(－2)×2n－1＝－2n或an＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n.3．等比中项(1)定义：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．(2)公式：若G是a与b的等比中项，则Ga＝bG，所以G2＝ab，G＝±ab.注意：(1)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．(2)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．所以“a，G，b成等比数列”与“G＝ab”是不等价的．方程x2－5x＋4＝0的两根的等比中项是()A．52B．±2C．±5D．2[答案]B[解析]设方程的两根为x1、x2，由韦达定理，得x1x2＝4，∴两根的等比中项为±x1x2＝±2.等比数列通项公式已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.[分析](1)在等比数列的通项公式中含有两个待定系数a1和q，故需建立a1与q的两个方程，组成方程组求解，因此只需将已知条件改写成a1与q的关系式即可．(2)由等比中项的定义知，a2是a1与a3的等比中项，故可先由a1a2a3＝8求得a2，再解关于a1与a3的方程组，即可获解．[解析]解法一：由等比数列的定义知a2＝a1q，a3＝a1q2，代入已知得，a1＋a1q＋a1q2＝7a1·a1q·a1q2＝8，即a11＋q＋q2＝7a31q3＝8，∴a11＋q＋q2＝7①a1q＝2②由②得a1＝2q，代入①得2q2－5q＋2＝0，∴q＝2，或q＝12.当q＝2时，a1＝1，an＝2n－1；当q＝12是，a1＝4，an＝23－n.解法二：∵a1a3＝a22，∴a1a2a3＝a32＝8，∴a2＝2.从而a1＋a3＝5a1a3＝4，解之得a1＝1，a3＝4，或a1＝4，a3＝1，当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝12.故an＝2n－1，或an＝23－n.在等比数列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.[解析](1)设公比为q，由题意，得a1q3＝2a1q6＝8①②由②①得q3＝4，∴q＝34.∴a1＝2q3＝12，∴an＝a1qn－1＝12×＝.(2)设公比为q，由题意，得a1q＋a1q4＝18a1q2＋a1q5＝9①②由②①得q＝12，∴a1＝32.又an＝1，∴32×(12)n－1＝1，即26－n＝20，∴n＝6.等比数列的判定已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)(1)求证{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．[分析](1)欲证{bn}是等比数列，须证bn＋1bn为常数，又bn＝an＋1，∴bn＋1＝an＋1＋1，故只须将条件式变换为an＋1＋1与an＋1的关系式即可获证．(2)只要求出了{bn}的通项公式，就可以求出{an}的通项公式．[解析](1)证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)即bn＋1＝2bn，∵b1＝a1＋1＝2≠0.∴bn≠0，∴bn＋1bn＝2，∴{bn}是等比数列．(2)由(1)知{bn}是首项b1＝2，公比为2的等比数列，∴bn＝2×2n－1＝2n即an＋1＝2n，∴an＝2n－1.[方法总结]判定数列是等比数列常用的方法(1)定义法：an＋1an＝q(常数)或anan－1＝q(常数)(n≥2)⇔{an}为等比数列．(2)等比中项法a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列．(3)通项法：an＝a1qn－1(其中a1、q为非零常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列．在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝2anan＋1，证明：数列{1an－1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式．[证明]由a1＝2，an＋1＝2anan＋1可知，对n∈N*，an≠0.由an＋1＝2anan＋1两边取倒数得，1an＋1＝12＋12an.即1an＋1－1＝121an－1，∵a1＝2，∴1a1－1＝－12.∴数列{1an－1}是首项为－12，公比为12的等比数列．∴1an－1＝－1212n－1＝－12n.∴an＝2n2n－1.等比中项等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是()A．90B．100C．145D．190[答案]B[解析]设公差为d，由题意得a22＝a1·a5，∵a1＝1，∴(1＋d)2＝1＋4d，∴d2－2d＝0，∵d≠0，∴d＝2，∴S10＝10×1＋10×92×2＝100，故选B．等差数列{an}中，公差d≠0，且a3是a1和a9的等比中项，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10＝________.[答案]1316[解析]由题意知，a3是a1和a9的等比中项，∴a23＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，解得a1＝d，∴a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10＝13d16d＝1316.等比数列的应用题某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．(1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值．(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？[分析]根据题意，每年车的价值存在倍数关系，所以能建立等比数列模型来解决．[解析](1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.∴第n年车的价值为an＝13.5×(0.9)n－1万元．(2)当他用满4年时，车的价值为a5＝13.5×(0.9)5－1＝8.857.∴用满4年时卖掉时，他大概能得8.857万元．容积为aL(a1)的容器盛满酒精后倒出1L，然后加满水，再倒出1L混合溶液后又用水加满，如此继续下去，问第n次操作后溶液的浓度是多少？当a＝2时，至少应倒出几次后才可能使酒精浓度低于10%?[解析]开始的浓度为1，操作一次后溶液的浓度是a1＝1－1a.投操作n次后溶液的浓度是an，则操作n＋1次后溶液的浓度是an＋1＝an(1－1a)．所以{an}构成以a1＝1－1a为首项，q＝1－1a为公比的等比数列．所以an＝(1－1a)n，即第n次操作后溶液的浓度是(1－1a)n.当a＝2时，由a1＝(12)n110，得n≥4.因此，至少应倒4次后才可以使酒精浓度低于10%.构造等比数列的技巧设数列{an}满足关系式：an＝32an－1＋5(n≥2)，a1＝－172.(1)求数列{an}的通项公式；(2)问数列{an}从第几项开始大于0？(ln2≈0.3010，lg3≈0.4771)[分析]求{an}的通项公式可考虑构造辅助数列的方法．[解析](1)由题意，得an＋10＝32(an－1＋10)(n≥2)，∴数列{an＋10}是首项为a1＋10＝32，公比为32的等比数列，∴an＋10＝32×(32)n－1＝(32)n，∴an＝(32)n－10.(2)令an0，即(32)n10，两边取常用对数，得nlg321，∴n(lg3－lg2)1，即n1lg3－lg2≈5.7(n∈N*)，∴数列{an}从第6项开始大于0.[方法总结](1)题中“an＋10”中“10”可以用如下方法求得：令an＋x＝32(an－1＋x)，即an＝32an－1＋x2，与an＝32an－1＋5相比较，得x2＝5，即x＝10.这种方法称为“构造等比数列法”，常用来求已知条件形如“an＋1＝pan＋q(p≠1)”的递推关系的通项公式，可以证明{an＋qp－1}为等比数列．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1，n∈N*)，求数列{an}的通项公式．[解析]令an＋1＋λ＝2(an＋λ)，与已知an＋1＝2an＋3比较知λ＝3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，∴{an＋3}是首项为a1＋3＝4，公比为2的等比数列，∴an＋3＝(a1＋3)×2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5、a7的等比中项．[错解]设该等比数列的公比为q，首项为a1，∵a2－a5＝42，∴q≠1，由已知，得a1＋a1q＋a1q2＝168a1q－a1q4＝42，∴a11＋q＋q2