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等差数列的前n项求和公式复习1、等差数列的通项公式2、等差数列的性质数列{a}中m+n=p+q,则am+an=ap+aq若a1为首项,d为公差,则an=a1+(n-1)dzn当p=q时,m+n=2p,则am+an=2ap,称ap为等差中项分析:高斯是如何很快的解出其结果的呢?问题:1+2+3+……+100=?引入首项与末项的和:1+100=101,第2项与倒数第2项的和:2+99=101,第3项与倒数第3项的和:3+98=101,……第50项与倒数第50项的和:50+51=101,于是所求的和是:50502100101高斯的问题,可以看成是求等差数列1,2,3,…,n,…的前100项的和,求:1+2+3+4+…+n=?如果令Sn=1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n颠倒顺序得Sn=n+(n-1)+(n-2)+...+3+2+1则1nn2Sn21nnSn将两式相加2Sn=(1+n)+(2+n-1)+...+(n+1)推导下面对等差数列前n项公式进行推导设等差数列a1,a2,a3,…它的前n项和是Sn=a1+a2+…+an-1+an(1)若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1(2)由(1)+(2)得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+..由等差数列的性质a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…由(1)+(2)得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+..即Sn=n(a1+an)/2如果代入等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,Sn也可以用首项a1和公差d表示,即Sn=na1+n(n-1)d/2所以,等差数列的前n项求和公式是或2naaSn1nd21nnnaS1n例题例1等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和是54?例2已知一个等差数列{an}的前10项的和是310,前20项的和是1220.求等差数列的前n项和的公式例3求集合M={m|m=7n,n是正整数,且m100}的元素个数,并求这些元素的和.解:将题中的等差数列记为{an},Sn代表该数列的前n项和,则有a1=-10,d=-6-(-10)=4设数列的前n项和为54,即Sn=54根据等差数列的前n项求和公式d21nnnaS1n代入Sn=54,a1=-10,d=4整理得,n2-6n-27=0解得n1=9,n2=-3(舍去)因此,等差数列-10,-6,-2,2,...前9项的和是54.解:由题,等差数列的前10项和S10=310,前20项和S20=1220根据等差数列的前n项求和公式得d21nnnaS1n1220d21202020310d21-101010aSaS120110解得a1=4,d=6因此,等差数列的前n项和的公式是n3nS2n将此结果代入上面的求和公式,得Sn=4n+n(n-1)×3=3n2+n解:根据题意,由7n100得n100/7由于满足它的正整数n共有14个,所以集合M中的元素共有14个.即7,14,21,…,91,98这是一个等差数列,各项的和是因此,集合M中的元素共有14个,它们的和为735.2)987(1414S=735由于Sn=n(a1+an)/2整理可得Sn=d/2n2+(a1-d/2),其中a1、d均为已知数若令A=d/2,B=a1-d/2,则S=An2+Bn将等差数列的前n项和公式写成上述形式,有利于求其前n项和的极值:a10,d0a10,d0极大值无有极小值有无nsnnsna10,d0,极小值a10,d0,极大值探究例1.一个首项为正数的等差数列中,前3项的和等于前11项的和的.问此数列前多少项的和最大?分析:S3=S11,这里可以找出a1与d的关系,则Sn是d的函数dada5511331:解da528da21300ddnnnaSn211dnn2142021113aSS:解由等差数列构成的函数图象,可知n=(3+11)/2=7时,Sn最大即n=7.210,012.8122113123的取值范围求公差由;中哪个最大,并说明理,指出,,且和的前项等差数列例dSSSSSaSnann0,011312SS解:007776aaaa0076aa最大6S07821213066212122dddd3724d练习1、已知a6+a9+a12+a15=192,求S202、一个项数为36的数列的前四项和是21,后四项和是67,求这个数列的和。3、{an}是等差数列,S100,S110,则求使an0的n的最小值总结1.推导等差数列前n项和公式的方法-------倒序相加法2.公式的应用中的数学思想.-------方程、函数思想3.公式中五个量a1,d,an,n,sn,已知其中三个量,可以求其余两个-------知三求二A组2、4、5谢谢观赏
本文标题:等差数列的前n项求和公式
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