矩阵可对角化的总结

矩阵可对角化的总结莆田学院数学系02级1班连涵生21041111［摘要］：主要讨论n级方阵可对角化问题：（1）通过特征值，特征向量和若尔当标准形讨论方阵可对角化的条件；（2）实n级对称矩阵的可对角化讨论；（3）几个常见n级方阵的可对角化讨论。［关键词］：n级方阵；可对角化；相似；特征值；特征向量；若尔当标准形；n级实对称矩阵说明：如果没有具体指出是在哪一个数域上的n级方阵，都认为是复数域上的。当然如果它的特征多项式在某一数域K上不能表成一次多项式的乘积的话，那么在此数域上它一定不能相似对角阵。只要适当扩大原本数域使得满足以上条件就可以。复数域上一定满足，因此这样假设，就不用再去讨论数域。引言所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。本文主要是讨论矩阵可对角化。定义1：设A，B是两个n级方阵，如果存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称B与A相似，记作A～B。矩阵P称为由A到B的相似变换矩阵。1234定义2：设A是一个n级方阵，如果有数和非零向量X，使AX=X则称是矩阵A的特征值，X称为A的对应于的特征向量，称{|}VA为矩阵对应于特征值的特征子空间。1234定义3：设A是数域P上一个n级方阵，若多项式()[]fxPX，使()0fA则称()fx为矩阵A的零化多项式。2定义4：数域P上次数最低的首项为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式。123一、首先从特征值，特征向量入手讨论n级方阵可对角化的相关条件。定理1：一个n级方阵A可对角化的充要条件它有n个线性无关的特征向量。1234证明：必要性：由已知，存在可逆矩阵P，使121nPAP即12nAPP把矩阵P按列分块，记每一列矩阵为12,,,nPPP即12[,,,]nPPPP于是有12[,,,]nAPPP=1212[,,,]nnPPP，即121122[,,,][,,,]nnnAPAPAPPPP于是有,1,2,,iiiAPPin。由特征值，特征向量定义，表明P的每一列都是A的特征向量，因为P是可逆的，因此12,,,nPPP是A的n个线性无关特征向量，其中12,,,n为A的特征值。充分性：若A有n个线性无关的特征向量12,,,nPPP则有,1,2,,iiiAPPin，其中i是对应于特征向量iP的A的特征值。以12,,,nPPP为列作矩阵12[,,,]nPPPP，因为12,,,nPPP线性无关，所以矩阵P是可逆的。由12[,,,]nAPAPPP=121122[,,,][,,,]nnnAPAPAPPPP=1212[,,,]nnPPP=12nP则有121nPAP即A与对角矩阵相似从以上证明中可知：（1）与矩阵A相似的对角矩阵主对角线上的元素是A的特征值，而相似变换矩阵P的列是A的n个线性无关特征向量。（2）12,,,n在主对角线上的次序应与其对应的特征向量在P中的次序相对应，如果12,,,n的次序改变，那么12,,,nPPP在P中的次序也要作相应的改变。但这时P就不是原来的P了。因此相似变换矩阵不是唯一的。若不计k的排列顺序，则对角矩阵是唯一的，称它为A的相似标准形。由相似是一种等价关系知：与A相似的矩阵都有相同的相似标准形。定理2：矩阵A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。1234由此给出了一个推论：n级方阵可对角化的充分条件A有n个互不相同的特征值。1234证明：由定理1及定理2可得。但这个推论的逆不成立。例如：n级单位阵E，显然它是可对角化的，但它的特征值为1(n重根)。那我们要问若有重根时，要满足什么条件才可对角化？定理3：n阶矩阵A可对角化的充要条件是：A的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于特征值的重数(即A的每个特征子空间iV的维数等于特征值i的重数)4这个定理又可以这样叙述：矩阵A的每个特征值的代数重数等于对应子空间的(几何)重数。23引理1：如果1,,k是矩阵A的不同特征值，而12,,,iiiir是属于i的线性无关的特征向量，12,,,ik那么向量组111121,,,,,krkr也线性无关。123即：给出一个n级矩阵，求出属于每个特征值的线性无关向量，把它们合在一起也是线性无关的。引理2：设0是n阶矩阵A的一个k重特征值，对应于0的特征向量线性无关的最大个数为l，则kl。4证明：反证法。设lk，由已知0012,,,,,iiiAil。(1)12,,,l线性无关。将12,,,l扩充为n维向量空间V的一组基：121,,,,,,lln其中1,,ln一般不是A的特征向量，但1,,,mAVmln，可用上述的一组基线性表示，即1111'''',,,,mmlmllmlnmnAaaaa其中1(,,)mln(2)用矩阵可表示为：121,,,,,,llnA011100112111110'',,'',,'',,'',,,,,,,,lnlllnllnlllnnlnnaaaaaaaa(3)记121,,,,,,llnP则P是可逆的。因此上式可表为010112200llEAEAAPPPAPAA根据相似矩阵有相同的特征多项式，得111()nnnnEAPEAPPEAPEPAP010220()()llnlnlEAEEAEA02()lnlEA(4)令2()nlgEA是的nl次多项式，由(4)式知0至少是A的l(lk)重特征值。与0为A的k重特征值，矛盾，所以lk。由上面的两个引理作基础，下证定理3：证明：不妨设1()imriiEA其中1,,mK又1miirn。(在复数域中)充分性：由于对应于i的特征向量有ir个线性无关，又m个特征值互异。由引理1知A有n个线形无关的特征向量，依据定理1，A与对角阵相似。必要性：用反证法：设有一个特征值i所对应的线性无关的特征向量的最大个数iil的重数为ir，则由引理2知，A的线性无关的特征向量个数小于n，故A不能对角化，与题设矛盾，假设不成立。即A的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数il等于特征值的重数ir。4推论：n级方阵A可对角化的充要条件是对于A的每一个特征根，有秩EAnS，其中s是的重数。2证明：0EAX的解空间V的维数等于特征值的重数即维VS（由定理3知）。又维Vn秩EA。所以，秩EAnS成立。以上给出的可对角化的几个条件都是以特征值，特征向量为基础。其中条件1（也是定理1）是最基础的，可以把它看作是矩阵可对角化的实质。其它条件都是它的扩展。下面我们用矩阵及若尔当标准形来讨论矩阵可对角化。定理4：复数域上每一个n阶矩阵A都与一个若尔当标准形相似。这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的。它称为A的若尔当标准形。1234由相似是一个等价关系知，与A相似的矩阵都有相同的若尔当标准形。从这个意义上讲，我们可以把n级方阵划分为以若当标准形为代表元素的等价类。等价类中的每个元素是相似的。由若尔当标准形的构造知，它包含对角形矩阵为它的特殊情况。那么当它满足什么条件时，一个若尔当标准形是一个对角矩阵，也就是可对角化的条件。由于每个初等因子对应一个若当块，例如初等因子为()iri，那它对应的若当块为11iiiiiirrJ，而若当形矩阵是由这样的若当块组成的。例：12SJJJJ，所以如果每一个若当块都是1阶，那么，这个若当形矩阵J就成了对角阵，那么与之对应的初等因子都是一次的。由上面讨论给出矩阵可对角化的几个条件：定理5：n级方阵可对角化的充要条件它的初等因子都是一次的。123推论1：n级方阵可对角化的充要条件它的不变因子无重根。123推论2：n级方阵可对角化的充要条件它的最小多项式无重根。123这三个充要条件充分利用了不变因子，初等因子及最小多项式之间的关系，但在具体的解题过程中很少直接去求不变因子和初等因子，一般情况下是通过求最小多项式来解题的。例：由最小多项式的定义知，对于任一个零化多项式()fx都满足()|()Amxfx，()Amx表示矩阵A的最小多项式。因此若()fx无重根，则()Amx一定无重根。当然这只是一种方法。由此给出推论3：n级方阵可对角化的充分条件是它的零化多项式无重根。由哈密尔顿—凯莱定理知，特征多项式是一个零化多项式。1234推论4：n级方阵可对角化充分条件特征多项式无重根。以上讨论的这些n级方阵可对角化的条件是相对比较常见到的。二、n级实对称矩阵的可对角化讨论。前面我们讨论了n级方阵可对角化条件，同时也看出不是任何矩阵都与对角阵相似，但实用中很重要的一类矩阵—n级实对称阵一定可对角化，而且对于任一个实对称阵A，存在正交矩阵T，使T-1AT为对角阵。1234即n级实对称矩阵存在n个线性无关的正交特征向量。定理5：n级实对称矩阵A，B，若A与B相似，则A与B合同。5证：A与B相似，那么它们有相同的特征值，设为12,,,n由A，B为n级实对称矩阵知，特征值全为实数，且存在正交矩阵P，Q，使121TnPAPPAP，121TnQBQQBQ，则11PAPQBQ11APQBQP即111()()AQPBQP。由于正交矩阵的逆、乘积还是正交矩阵，因此1QP为正交矩阵。则111()()QPQP且110QPQP11()()TAQPBQP即A与B是合同的。一般情况下相似与合同是没有什么关系，但是如果是实对称阵的话，合同是包含相似的。三、几种常用矩阵的对角化问题讨论1、非零幂零矩阵一定不可对角化。证：设非零幂零阵A，幂零指数为m。1）A的特征值全为0。设为A的特征值，是属于的特征向量。即A，则mmA，又由0mA知00m(0)，即A的特征值全为0。2）若A可对角化，则存在可逆阵T，使110000000TATATT与0A矛盾。综上所述，非零幂零矩阵一定不可对角化。推论：幂零阵若可对角化，则它一定是零矩阵。2、对合矩阵一定可对角化。设A为对合阵，则2AE。方法1：若A有n个线性无关特征向量，由定理1命题成立。证：1）A的特征值只有1和1设为A的特征值，为属于的特征向量。22AAAAA，又2AE得2，移项得221010即1。2）A有n个线性无关的特征向量由已知2AE秩AE秩EAn。对特征值1，齐次线性方程组0EAX。有nrEArEA个无关特征向量。对特征值1，齐次线性方程组0EAX。有nrEArEA个无关特征向量。再因为属于不同特征值特征向量线性无关，所以，A有rAErEAn个