方法最全的数列求和

数列的求和和风中学：蒋世华知识梳理一.公式法：①等差数列的前n项和公式：②等比数列的前n项和公式③④⑤n即直接用求和公式，求数列的前n和S11()(1)22nnnaannSnad111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq1123(1)2nnn22221123(1)(21)6nnnn23333(1)1232nnn⑥2+4+6+…+2n=；⑦1+3+5+…+（2n-1）=；n2+nn2二、错位相减法求和例如是等差数列，是等比数列，求a1b1＋a2b2＋…＋anbn的和．三、分组求和把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和．四、并项求和例如求1002－992＋982－972＋…＋22－12的和．五、裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差、正负相消，剩下首尾若干项．{}an{}bn六。倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.七。归纳猜想法：先通过归纳猜想和的表达式，再使用数学归纳法等正面证明。八。奇偶法通过分组，对n分奇偶讨论求和九。通项分析求和法十。周期转化法如果一个数列具有周期性，那么只要求出了数列在一个周期内各项的和，就可以利用这个和与周期的性质对数列的前n项和进行转化合并．例1：求和：23.nxxx1.468+2n+2……（）231111212222n.10看通项，是什么数列，用哪个公式；20注意项数例2、已知lg(xy)2nn-11n-1nS=lgx+lg(x·y)+...+lg(x·y)+lgy,(x0,y0)求Snn-1nS=lgx+lg(x·y)+...+lgynn-1nS=lg+lg(·x)+...+lgyyxnnn2S=lg+lg+...+lg(xy)(xy)(xy)=2n(n+1)S=n(n+1)解：倒序相加法如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……变式探究012135(21)(21)nnnnnnnCCCnCnC求和：已知数列1,3a,5a2，…，(2n－1)an－1(a≠0)，求其前n项和．例3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.既{anbn}型等差等比2.设数列满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，a∈N*.(1)求数列的通项；(2)设bn＝，求数列的前n项和Sn.{}an{}an{}bnn3nan变式探究设数列{an}的前n项和为Sn，点(n，)(n∈N*)均在函数y=3x-2的图象上.（1）求数列{an}的通项公式；（2），Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m.nSn1nnnaa3b+=20m例4.（1）依题意得=3n-2，即Sn=3n2-2n.当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-［3(n-1)2-2(n-1)］=6n-5；当n=1时，a1=S1=3×12-2×1=1=6×1-5,∴an=6n-5(n∈N*).nSn（2）由(1)得bn=故Tn=b1+b2+…+bn因此，使得(n∈N*)成立的m必须满足,即m≥10.故满足要求的最小正整数m为10.1nnaa3+[]).16n1-5-6n1(215-1)6(n5)-(6n3+=+=21=)16n1-5-6n1()131-71()71-1(++•••++〔〕)16n1-1(21+=20m)1+6n1-(12120m21≤列项求和法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项法.（见到分式型的要往这种方法联想）1．特别是对于，其中是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用(其中d＝an＋1－an)．canan＋1{}ancanan＋1＝cd1an－1an＋1常见的拆项公式有：111)1(1.1nnnn)11(1)(1.2knnkknn)121121(21)12)(12(1.3nnnn])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1.5nnnnnnn)(11.4bababa常见的裂项公式有：16.11nnnn1nn＋1＝1n－1n＋1，12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1，1nn＋1n＋2＝121nn＋1－1n＋1n＋2.nn＋1！＝1n！－1n＋1！.1121121121122nnnnn7n·n！=（n+1）！-n！；89〔〕【分析】所给数列为倒数构成的数列,故应研究通项,看能否拆为两项之差的形式,以便使用裂项相消法.【解析】求数列,…的前n项和.841,631,421,2112222++++)2+n1-n1(21=2n+n1=a2n21∴)2+n1-n1(+)1+n1-1-n1•(••+)41-21(+)31-(12)1)(n2(n32n-43)2n1-1n1-211(21+++=+++=变式探究：例5.求下面数列的前n项和111112,4,6,,248162nn解（1）：该数列的通项公式为1122nnan11111246(2)48162nnsn1111(2462)()482nn111(22)421212nnn111(1)22nnncn=an+bn({an}、{bn}为等差或等比数列。）项的特征反思与小结：要善于从通项公式中看本质：一个等差{n}＋一个等比{2n}，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题.分组求和法,+n1练习1.求数列+23,+的前n项和。,222,32n2+123n解：=(1+2+3+…+n)Sn=(1+2)+(2+)+(3+)+…+(ｎ+)2232ｎ2+(2+2+2+…+2)n23=n(n+1)22(2-1)2-1n+=n(n+1)2+2-2n+1…分组求和法例6：1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？局部重组转化为常见数列并项求和练习：已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),1)求S20,S212)求SnS20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）=20=-21例7：已知数列5，55，555，5555，…求满足前4项条件的数列的通项公式及前n项和公式。练习：求和Sn=1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23)+……+(1+2+22+……+2n-1)通项分析求和通项=2n-1练习求和：1111+++.....+11+21+2+31+2+3+4+....+n先求通项再处理通项1123nan解：2(1)nn112()1nn111112[(1)()()]2231nSnn12(1)1n21nn1222128.:1.1234(1)2,1357.....(1)(21)nnnSnSn例求和23()9.(1),,31()nnnnnnnaananS为奇数例数列中为偶数求的前项和。(2)数列{an}中，an＝－2[n－(－1)n]，求Sn.例10.已知数列na中，11a＝－，22a+2+20nnaa＝，求122009++.......+aaa的值。解：由+2+20nnaa＝,得+2=-2nnaa,+24=-2nnaa,则4nnaa＝,即数列na的周期是4,又32a,41a故1234+++a=2aaa,2009450211aaa,1234200912342009+++a+.......+502(+++)1003aaaaaaaaa练习：已知在数列na中，12a，111nnaa，其前n项和为nS，求2008S变式探究1．已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求a2＋a4＋…＋.{}an解析：首先由S10＝10a1＋＝145⇒d＝3，则an＝a1＋(n－1)d＝3n－2⇒a2n＝3·2n－2，∴a2＋a4＋…＋a2n＝3(2＋22＋…＋2n)－2n＝3－2n＝3·2n＋1－2n－6.10×9×d221－2n1－2na22．求数列1,3＋，32＋，…，3n＋的各项的和．1313213n3.在等差数列中，a1＝3，d＝2，Sn是其前n项的和，求：S＝.1S1＋1S2＋…＋1Sn.{}an4.(2010年广州一模)已知数列{an}满足对任意的n∈N*，都有an＞0，且＝(a1＋a2＋…＋an)2.(1)求a1，a2的值；(2)求数列{an}的通项公式an；(3)设数列的前n项和为Sn，不等式Sn＞loga(1－a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．1anan＋2a31＋a32＋…＋a3n1325.(),:22(2008)(2007)(0)(1)(2008)(2009)xfxffffff设求1．要求数列的前n项和，关键是抽取出其通项来加以分析，根据数列的通项的结构特点去选择适当的方法．2．等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决．3．数列求和是数列的一个重要内容，其实质是将多项式化简，等差、等比数列及可以转化为等差、等比数列的求和问题应掌握，还应掌握一些特殊数列的求和．4．解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．5．“错位相减”、“裂项相消”等是数列求和最重要的方法．是高考重点考查的内容，应熟练掌握．