2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 空间几何体的结构及三视图和直观图

§8.1空间几何体的结构及三视图和直观图[高考调研明确考向]考纲解读•认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．•能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，能识别上述三视图所示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．•会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．•会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求).考情分析•三视图是新增加的内容，是高考的热点和重点，几乎年年考．•柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质是本节内容的重点，也是难点．•以选择、填空题的形式考查，有时也会在解答题中出现.知识梳理1.空间几何体的结构特征2．空间几何体的三视图(1)三视图的形成与名称．空间几何体的三视图是用□6______得到的，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是□7________的，三视图包括□8______、□9________、□10__________.(2)三视图的画法．①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的□11________方、□12________方、□13__________方观察几何体画出的轮廓线．3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用□14______画法来画，基本规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为□15____________，z′轴与x′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中□16________.平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中□17__________，平行于y轴的线段长度在直观图中□18________________.答案：□1平行且相等□2全等□3公共顶点□4平行于底面□5相似□6平行投影□7完全相同□8正视图□9侧视图□10俯视图□11正前□12正左□13正上□14斜二测□1545°(或135°)□16还是线段□17保持不变□18变为原来的一半名师微博●一规律三视图的长度特征：“长对正，宽相等、高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．●两个概念(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心.基础自测1.下列有关棱柱的命题中正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱D．棱柱的侧棱长有的相等，有的不相等解析：A、B都不能保证侧棱平行这个结构特征，对于D，由棱柱的结构特征知侧棱都相等，一个最简单的棱柱是三棱柱，有五个面、六个顶点、九条棱．答案：C2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是()A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．答案：C3．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④解析：正方体的正视、侧视、俯视图都是正方形；圆锥的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、三角形、圆及圆心；三棱台的正视、侧视、俯视图依次为：梯形、梯形(与正视图可能不相同)、三角形(内外两个三角形且对应顶点相连)；正四棱锥的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、三角形、正方形．答案：D4．如图所示，图①②③是图④表示的几何体的三视图，其中图①是__________，图②是__________，图③是________．(写出视图名称)解析：观察几何体的结构特征，不难发现下层长为两个小长方体的长，几何体的高为两个小长方体的高．所以正视图应为①，侧视图为②，俯视图为③.答案：正视图侧视图俯视图5．等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为__________．解析：如图所示：∵OE＝22－1＝1，∴O′E′＝12，E′F＝24，∴直观图A′B′C′D′的面积为S′＝12×(1＋3)×24＝22.答案：22[例1]给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；⑥棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是__________．考点一空间几何体的结构特征解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②不正确，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台；③正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；④正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；⑤正确，如图，正方体AC1中的四棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知．答案：③④⑤⑥方法点睛解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧：①要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地去分析，多观察实物，提高空间想象能力．②紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．③通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．变式训练1以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题②错，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．答案：B[例2](北京高考)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()正视图侧视图考点二空间几何体的三视图A.B.C.D.解析：由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示．所以该几何体的俯视图为C.答案：C方法点睛①空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．②在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．变式训练2三视图如图所示的几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台解析：由三视图知该几何体为一四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面，底面为一直角梯形．故选B.答案：B[例3]已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2B.38a2C.68a2D.616a2考点三空间几何体的直观图解析：如图①②所示的实际图形和直观图．①②由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝22O′C′＝68a.∴S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a＝616a2.答案：D方法点睛直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平面图形的面积是其直观图面积的22倍，这是一个较常用的重要结论．变式训练3如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，由此得原图形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形解析：将直观图还原得▱OABC，则O′D′＝2O′C′＝22(cm)，OD＝2O′D′＝42(cm)，C′D′＝O′C′＝2(cm)，∴CD＝2(cm)，OC＝CD2＋OD2＝22＋422＝6(cm)，OA＝O′A′＝6(cm)＝OC，故原图形为菱形．答案：C易错矫正(二十四)忽视几何体的放置对三视图的影响致错[试题]一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的__________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．错解：①②⑤错因：忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选③.正解：①三棱锥的正视图是三角形；②当四棱锥的底面是四边形放置时，其正视图是三角形；③把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的正视图是三角形；④对于四棱柱，不论怎样放置，其正视图都不可能是三角形；⑤当圆锥的底面水平放置时，其正视图是三角形；⑥圆柱不论怎样放置，其正视图也不可能是三角形．答案：①②③⑤问题诊断：空间几何体的三视图是该几何体在两两垂直的三个平面上的正投影．同一几何体摆放的角度不同，其三视图可能不同，有的考生往往忽视这一点．防范措施：应从多角度细心观察.