大学几何代数

第二章线性方程组与矩阵的运算线性方程组的解取决于一、线性方程组的相关概念第一节线性方程组与矩阵的基本概念,,,2,1;,,2,1njmiaij系数mibi,,2,1常数项mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111设线性方程组,,,,21不全为零若常数项mbbb则称此方程组为非齐次线性方程组;,,,,21全为零若常数项mbbb此时称方程组为齐次线性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概念mmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为二、矩阵的定义由个数排成的行列的数表nmmnnjmiaij,,2,1;,,2,1mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为矩阵.简称矩阵.nmnm记作mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211简记为.ijnmijnmaaAA元的矩阵nmA,.,简称为元的元素个数称为这Anm元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.主对角线副对角线例如34695301是一个实矩阵,422222222613i是一个复矩阵,33421是一个矩阵,139532是一个矩阵,414是一个矩阵.11例1三、消元法解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程．43213332321321321xxxxxxxxx小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．ij（与相互替换）（以替换）ikij（以替换）iki3．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．ji)(A若),(B)(B则);(Ajik)(A若),(Bji)(A若),(Bik)(B则);(Aik)(B则).(Akji因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记413213133121)(bAB则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换．定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:）；记作两行对调两行（对调jirrji,,1;02乘以某一行的所有元素以数k）记作行乘（第krkii,.3）记作行上倍加到第行的对应的元素上去（第倍加到另一行把某一行所有元素的jikrrikjk四、矩阵的初等变换定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．jirrkri逆变换;jirr逆变换;)1(krkrii或jikrr逆变换.)(jijikrrrkr或特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；500000310003011040101B（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．.15的其他元素都为零列，且这些非零元所在的零行的第一个非零元为即非还称为行最简形矩阵，行阶梯形矩阵B.,Anm和行最简形变换把他变为行阶梯形总可经过有限次初等行对于任何矩阵注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．