第5章 电磁波的辐射

1第五章电磁波的辐射第五章电磁波的辐射ElectromagneticWaveRadiation本章所研究电磁波的辐射。方法和稳恒场情况一样，当考虑由电荷、电流分布激发电磁场的问题时，引入势的概念来描述电磁场比较方便。本章首先把势的概念推广到一般变化电磁场情况，然后通过势来解辐射问题。2第五章电磁波的辐射本章主要内容电磁场的矢势和标势推迟势电偶极辐射电磁波的干涉和衍射电磁场的动量3第五章电磁波的辐射§5.1电磁场的矢势和标势VectorandScalarPotentialofElectromagnetic4第五章电磁波的辐射1、用势描述电磁场真空中的电磁场：,A0DBEtBDHjt00,.DEBH对磁场引入：BA的物理意义LSAdlBds矢量沿任一闭合回路L的线积分等于该时刻通过以L为边线的曲面S的磁通量。AA5第五章电磁波的辐射()BAEAttt对于电场——有源和有旋0AEtAEt是标势不是静电势AEt电磁场和势之间的关系如下BAAEt6第五章电磁波的辐射这时就直接归结为电势；注意：①当与时间无关，即时，A0AtE②不要把中的标势与电势AEt混为一谈。因为在非稳恒情况下，不再是保守力场，不存在势能的概念，在数值上不等于把单位正电荷从空间一点移到无穷远处电场力所做的功。因此，把这里的称为标势.()EE③在时变场中，磁场和电场是相互作用的整体，必须把矢势和标势作为一个整体来描述电磁场。A7第五章电磁波的辐射2.规范变换和规范不变性用矢势A和标势描述电磁场不是唯一的，即给定的E和B并不对应于唯一的A和。对矢势A可以加上一个任意函数的梯度，结果不影响B，而这加在A上的梯度部分又可以从中除去，结果也不影响E。设为任意时空函数，做变换AAAt有ΑΑΒΑΑΕtt8第五章电磁波的辐射描述同一电磁场()()Α,Α,势的规范变换ΑΑΑt一种规范在经典电动力学中，由于表示电磁场客观属性的可测量的物理量为E和B，而不同规范又对应着同一的E和B，因此如果用势来描述电磁场，客观规律应该和势的特殊的规范选择无关。规范不变性：当势作规范变换时，所有物理量和物理规律都应该保持不变的一种不变性。9第五章电磁波的辐射在量子力学中，E和B不能完全描述电磁场的所有物理效应。例如在A-B效应中，在非单连通区域内绕闭合路径一周的电子波函数相位差，就由回路积分描述，它不能用B的局域作用来描述。Cdl此回路积分仍然是规范不变的()dldldlddl表明在量子力学中，所有可测量的物理量仍然保持规范不变性。10第五章电磁波的辐射在经典电动力学中，势A和的引入是作为描述电磁场的一种方法，规范不变性是对这种描述方法所加的要求。在近代物理中，规范变换是由量子力学的基本原理引入的，规范不变性是一条重要的物理原理。在量子力学中A和的地位也比在经典电动力学中重要得多。因此要熟悉用势描述电磁场的方法。11第五章电磁波的辐射从数学上来说，规范变换自由度的存在是由于在势的定义式中，只给出A的旋度，而没有给出A的散度。因此，还不足以确定这矢量场。为了确定它还必须给定它的散度。ΒΑΑΕt电磁场E和B本身对A的散度没有任何限制。作为确定势的辅助条件，可以取A为任意的值。12第五章电磁波的辐射每一种选择对应一种规范。采用适当的辅助条件可以使基本方程和计算简化，而且物理意义也较明显。应用最广泛的是以下两种规范条件。(1)库仑规范辅助条件A为无源场0AΑΕt无旋场(纵场)--库仑场无源场(横场)--感应电场13第五章电磁波的辐射这种规范在基本理论以及解决实际辐射问题中是特别方便的(2)洛伦兹规范辅助条件采用这种规范时,势的基本方程化为特别简单的对称形式,对其物理意义也特别明显。210Αct14第五章电磁波的辐射3、达朗贝尔(d’Alembert)方程0000/EBJtE200000220()AAJttAtΒΑΑΕt电磁场和势的关系麦克斯韦方程组()()()abcacbabc15第五章电磁波的辐射①采用库仑规范(0)A方程化为2022022211()AAjctct2001/c2202222011()ΑΑΑμJctctρΑtε令:16第五章电磁波的辐射JtΑcΑ022221022221tc②采用洛伦兹规范达朗贝尔方程：非齐次的波动方程电荷产生标势波动电流产生矢势波动JμtcΑtΑcΑ022222)1(102ερΑt21(0)Αct17第五章电磁波的辐射4、举例讨论试求单色平面电磁波的势解：单色平面电磁波在没有电荷，电流分布的自由空间中传播，因而势方程（达朗贝尔方程在Lorentz规范条件下）变为波动方程：222222221010ctAAct其解的形式为：()0()0ikxtikxteAAe/kc18第五章电磁波的辐射由Lorentz规范条件210Act()0()0ikxtikxteAAe221()0ikAicckA这表明，只要给定了A，就可以确定单色平面电磁波，这是因为：||()BAikAikAAikAikAikA0与k的方向相同19第五章电磁波的辐射2222()()()AEikiAtccikkAiAikkAkAcikkA2ˆckBcnB如果取，即只取具有横向分量，那么有AAA0kAkA从而得到：20ckA()()()abcacbabc20第五章电磁波的辐射因此BAikAikAAAEiAiAtt(0)kA其中采用库仑规范条件，势方程为：2222220110AActct21第五章电磁波的辐射保证了只有横向分量当全空间没有电荷分布时，标势，则只有其解的形式为0222210AAct()0ikxtAAe由库仑规范条件得到0AikAA(0)BAikAikAAAAEiAiAtt因此22第五章电磁波的辐射①库仑规范的优点：标势描述库仑作用，可直接由电荷分布求出，矢势只有横向分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立偏振。②洛仑兹规范的优点：它的标势和矢势构成的势方程具有对称性。它的矢势的纵向部分和标势的选择还可以有任意性，即存在多余的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变性。因此，以后都采用洛仑兹规范。比较：AAA23第五章电磁波的辐射§5.2推迟势RetardedPotential本节主要是求解达朗贝尔（d’Alembert）方程，并阐明其解的物理意义。24第五章电磁波的辐射1、达朗贝尔方程的解在洛伦茨规范条件下，和满足达朗贝尔方程故交变电磁场中的矢势和标势均满足叠加原理。因此，对于场源分布在有限体积内的势，可先求出场源中某一体积元所激发的势，然后对场源区域积分，得出总的势。222202202211ctΑΑJct方程是线性的，反映了电磁场的叠加性AA25第五章电磁波的辐射根据标势所满足的方程：222201ct设坐标原点处有一假想变化电荷Q(t)，其电荷体密度为，此时电荷辐射的势的达朗贝尔方程为(,)()()xtQtx2222011()()Qtxct除在原点以外的空间026第五章电磁波的辐射222210ct因此点电荷的场分布是球对称的(,)rt——与θ和φ无关2222211()0(0)rrrrrct其解是球面波，考虑到r增大时势减弱，设1(,)(,)rturtr0r27第五章电磁波的辐射2222210uurct得到——齐次波动方程通解为(,)()()rrurtftgtcc故有1(,)()()rrrtftgtrcc式中f和g具体形式由场源条件而定。向外发射的球面波向内收敛的球面波28第五章电磁波的辐射研究辐射时，电磁场是由原点处的电荷发出的，它必然是向外发射的波。因此应取g=0，而函数f的形式应由原点处的电荷变化形式决定。过渡到恒定场的情况，即取g=0，c→∞，则1(,)()rtftr与恒定场中Q所激发的电势04Qr比较，则得0()()4Qtft表示超距作用29第五章电磁波的辐射故交变场源所激发的势为()rQtc01(,)()4rrtQtrc如果点电荷不在原点处，而是在点上，令r为点到场点的距离，有xxx0(,/)(,)4Qxtrcxtr因此在交变电磁场中应有相似的解，即01()()4rrftQtcc30第五章电磁波的辐射如果场源电荷分布在有限体积V内，对于一般变化电荷分布，它所激发的标势为：(,)xt0(,)1(,)4Vrxtcxtdr因矢势的微分方程与标势的微分方程相似，故其解也相似，所以一般变化电流分布A),(txj所激发的矢势为：0(,)(,)4VrjxtcAxtdr31第五章电磁波的辐射证明0()(,)4rQtcrtr是2222011()()Qtxct的解当r≠0时，220020111144114QQQtQrrrrrtrrQQcrtr,rttc,rdtdtct32第五章电磁波的辐射2222320111214QQQQrcrtrcrtrcrt22223011224QQQcrtcrtr2200111144QQrQcQttrtrtrtr22222222011114QQcQcQttrtttrrttr2222301124QcQcQrtrtr33第五章电磁波的辐射r=0点是奇点只可能在r=0点上不等于零，可能有函数形式的奇异性作一半径为的小球包围原点，在小球内积分因此，当r≠0时，22220()1()4rQtcctr2222200()14()4rQtcrdrctr222210ct方程满足.34第五章电磁波的辐射只有对分母因子求二阶导数时才得到不为零的积分，因此可以令当0时,积分的第二项2而趋于零)'(δ412xxr222200()1()4rQtcdVctr2000()1()()(4)4