第5章 画法几何直线与平面 平面与平面

直线与平面平面与平面返回画法几何§5~1平行§5~2相交§5~3垂直§5~4点、直线和平面的图解方法第五章直线与平面、平面与平面相对位置包括：平行、相交和垂直。第一节平行直线与平面平行平面与平面平行包括判定规则：若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。一．直线与平面平行正平线例1：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。c●●bamabcmn唯一解nxo例2：判别AB与CDE是否互相平行？11′ee′a′badc′cd′b′•当平面与投影面垂直时，直线与该平面的平行关系可直接在该平面具有积聚性的投影中反映出来。AHPPHABbaPHba′ab′二．两平面平行若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。cfbdeaabcdefox判定规则：•若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。fhabcdefhabcdeox[例3]已知平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。emnmnfefsrsrkk第二节相交直线与平面相交平面与平面相交交点是直线与平面的共有点交点是直线可见与不可见的分界点。●求直线与平面的交点。●判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。一．一般位置直线与特殊位置平面相交特殊位置直线与一般位置平面相交要点：问题：（1）求交点直接利用特殊位置平面的积聚投影与直线的同名投影的交点（直线与平面的交点的其中一个投影）求出交点的其它投影。1．一般位置直线与特殊位置平面相交直线与特殊位置平面交点画法分析〔例4〕求直线与铅锤面、正垂面的交点M、N。a′b′aQVPHbnmm′n′（2）可见性判别1）直接观察法：读出直线与平面在空间的趋势（上行或下行），从而确定直线的可见性；2）重影点法：利用直线和平面上的重影点的可见性，确定直线的可见性；3）交点是直线可见部分与不可见部分的分界点。abcmncnbam〔例5〕求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析：平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①求交点②判别可见性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。还可通过重影点判别可见性。k●1(2)作图：k●●2●1●xkm(n)b●mncbaac空间及投影分析：直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①求交点②判别可见性点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k2为不可见。1(2)k●2●1●●作图：用面上取点法x2．特殊位置直线与一般位置平面相交辅助直线法二．两特殊位置平面相交两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要解决的问题：①求两平面的交线方法：⑴确定两平面的两个共有点。⑵确定一个共有点及交线的方向。②判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。M平面与平面相交两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有FKNL•垂直于同一投影面的两个平面相交，其交线也垂直于相同的投影面（方向已确定），利用这两个平面的积聚投影的交点求交线。可通过正面投影直观地进行判别。abcdefcfdbeam(n)空间及投影分析：平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。①求交线②判别可见性作图：从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。n●m●●能否不用重影点判别？能!如何判别？〔例6〕求两平面的交线MN并判别可见性。⑴•一般位置平面与特殊位置平面相交，其交线投影的画法可归结为：求作一般位置平面内的两条直线和特殊位置平面的两个交点的投影，再连接这两个交点的同名投影即得交线的投影。三．一般位置平面与特殊位置平面相交bcfhaeabcefh1(2)空间及投影分析：平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m、bc与fh的交点n即为两个共有点的正面投影，故mn即MN的正面投影。①求交线②判别可见性点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2不可见。作图：m●●n●2●n●m●1●〔例7〕求两平面的交线MN并判别可见性。1.一般位置直线与一般位置平面相交求交点，需作一个辅助平面（辅助平面法）。2.求交点的一般步骤：(1)过已知直线作一辅助平面（一般为投影面垂直面）；(2)求辅助平面和已知平面的交线；(3)确定此交线和已知直线的交点，此交点即为所求直线与平面的交点；(4)判别可见性。四．一般位置直线与一般位置平面相交12〔例8〕求直线与平面的交线（辅助平面法）PV21kk步骤：1．过EF作正垂平面P。2．求P平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3．求交线ⅠⅡ与EF的交点K。12以铅垂面为辅助平面PH1步骤：1．过EF作铅垂平面P。2．求P平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3．求交线ⅠⅡ与EF的交点K。kk2•两个一般位置平面相交求交线，需作两个辅助平面。求出两个平面的任意两个不重合的公共点，再用直线连接这两个公共点，即为所求交线。五．两一般位置平面相交•2.求两个一般位置平面交线的步骤：（1）在适当位置作两个辅助平面T1、T2；（2）求辅助平面T1与P及Q的交线AB和CD，以及辅助平面T2与P及Q的交线EF和KL；（3）求AB和CD的交点Ⅰ及EF和KL的交点Ⅱ；（4）连接Ⅰ和Ⅱ，即得所求交线。两一般位置平面相交，求交线步骤：1．用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点K、E。llnmmnPVQV1221kkee2．连接两个共有点，画出交线KE。利用重影点判别可见性两平面相交，判别可见性34()3421()12[例9]过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交。分析过已知点K作平面P平行于ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。FEKH作图mnhhnmPV11221．过点K作平面KMN//ABC平面。2．求直线EF与平面KMN的交点H。3．连接KH，KH即为所求。•一直线若与一平面内的任意两根相交直线垂直，则这根直线和该平面垂直；一直线若垂直于一平面，则这条直线垂直于该平面内的任意直线。•平面垂线的投影具有确定的方向：平面垂线的水平投影必垂直于这个平面内的水平线的水平投影；平面垂线的正面投影必垂直于这个平面内的正平线的正面投影。第三节垂直一．直线与平面垂直直角投影定理平面垂线投影特性平面垂线的投影特性〔例10〕过平面外一点作平面的垂线。e11′aa′cdbd′c′b′e′2′2••作图思路：（1）在已知平面内找两条相交直线，其中一条为水平线，另一条为正平线；（2）利用直角投影的特性作出所求直线。（1）过已知点作一水平线、一正平线；（2）利用直角投影的特性作出所求平面。〔例11〕过点A作平面垂直于已知直线EFaa′efe′f′••（1）过已知点作平面垂直于已知直线；（2）求所作平面于已知直线的交点；（3）已知点与交点的连线即为所求直线。〔例12〕过已知点作直线和已知直线垂直相交。faef′e′a′求点到直线的距离〔例13〕过A点作平面垂直于已知面并平行于ⅠⅡ。（1）过已知点A作直线AN垂直于已知平面；（2）过A作直线AM平行于ⅠⅡ。二．平面与平面垂直nn′a31′4′a′4213′2′若一平面经过另一平面的一条垂线，则此二平面互相垂直。••m′m1.定位问题点、线、面的位置关系，求作交点、交线、平面等。2.度量问题（1）线段实长、平面实形；（2）距离：点线、点面、线面、面面；（3）角度：线线、线面、面面。3.综合问题第四节点、直线和平面的图解方法一．问题•1.定位问题〔例13〕过A作直线既平行于平面BCD又和已知直线MN相交。（1）过A作平面ⅠAⅡ平行于已知平面BCD；（2）求已知直线MN与平面ⅠAⅡ的交点K；（3）连接A、K，即的所求。二．作图问题举例2.距离问题〔例14〕求作交叉两直线LA和BC的公垂线和距离。（1）过BC作平面P∥LA；（2）过LA上任意一点（图中过A点）作平面P的垂线AK；（3）求所作垂线AK于平面P的交点K；（4）作MK∥LA,交BC于M；（5）作MN∥AK，交LA于N，MN即所求公垂线；（6）用直角三角形法求MN实长，即为LA与BC间的距离。3.角度问题（1）直线与平面的夹角；（2）平面与平面的夹角。