矩阵的秩及其应用

学科分类号0701本科生毕业论文题目：矩阵的秩及其应用RankofMatrixandItsApplication学生姓名：学号：系别：数学与应用数学专业：数学与应用数学指导教师：起止日期：2013.12-2014.52014年5月10日怀化学院本科毕业论文(设计)诚信声明作者郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是在指导老师的指导下，独立进行研究所取得的成果，成果不存在知识产权争议。除文中已经注明引用的内容外，论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的成果。对论文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确的方式标明。本声明的法律结果由作者承担。本科毕业论文（设计）作者签名：年月日目录摘要.....................................................................I关键词...................................................................IAbstract.................................................................IKeywords................................................................I1前言...................................................................12矩阵的秩的定义及性质...................................................22.1矩阵的秩的定义....................................................22.2矩阵秩的性质......................................................22.3关于矩阵的秩的某些不等式、等式及其应用............................33矩阵的秩在代数中的应用................................................53.1解线性方程组.....................................................53.2讨论向量组的相关性...............................................93.3讨论零特征值的代数重数...........................................113.4判断二次型的正定.................................................124矩阵的秩在几何中的应用...............................................134.1判断平面与平面的位置关系.........................................134.2判断平面与直线的位置关系........................................144.3判断直线与直线的位置关系.........................................15参考文献................................................................17致谢..................................................................18I摘要矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始终，它是矩阵的一个数量特征，矩阵的秩有着广泛的应用。本文探讨了矩阵秩的不变性，矩阵秩的Sylvester与Frobenius不等式及等式成立的条件和应用，此外文章重点介绍了矩阵的秩在矩阵运算、矩阵可逆、向量组的线性相关以及零特征值代数重数的关系等问题中的作用，从而得到了矩阵的秩在线性代数、解析几何以及概率论等方面的应用．关键词不变性；不等式；线性方程组；齐次线性方程组；代数重数.RankofMatrixandItsApplicationAbstractTherankofamatrixisalmostthroughoutthematrixtheory,itisaquantitycharacteristicmatrix,rankofmatrixhasawiderangeofapplications.Thispaperdiscussestheinvarianceofmatrixrank,therankofamatrixisestablishedwithinequalityandequalityconditionsandapplications,furthermorethearticlefocusesontherankofmatrixvaluedalgebraicmultiplicityrelationsandotherissuesintheroleofthelinearcorrelationmatrixmultiplication,matrix,vectorgroupandzerocharacteristic,whichhasbeenappliedintherankofamatrixlinearalgebra,analyticgeometry,probabilitytheoryandsoon.KeywordsInvariance;inequalities;linearequations;homogeneouslinearequations;algebraicmultiplicity.11前言矩阵的现代概念是在19世纪逐渐形成的.1801年德国数学家高斯.FGauss，18551777）把一个线性变换的全部系数作为一个整体．1844年,德国数学家爱森斯坦)18521823,.(nEissensteiF讨论了“变换”（矩阵）及其乘积．1850年,英国数学家西尔维斯特18971841,SylvesterJosephJames首先使用了矩阵一词．1858年,英国数学家凯莱)18951821,.(GayleyA发表《关于矩阵理论的研究报告》．他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，并在这个主题上首先发表了一系列的文章，因而被认为是矩阵论的创立者，他给出了现在通用的一系列定义，如两矩阵相等、零矩阵、两矩阵之和，一个数与一个矩阵的数量积、两矩阵的积、矩阵的逆、转置矩阵等．并且凯莱还注意到矩阵的乘法是可结合的，但一般不可交换，且mn矩阵只能用nk矩阵去右乘．1854年，法国数学家埃米尔特)19011822,.(HermitemC使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由德国数学家费罗贝乌斯)18171849,..(mFroheniousGF发表．1879年，费罗贝乌斯引入矩阵秩的概念．矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是应用数学研究的一个重要的工具．而矩阵的秩是一个基本的概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量．矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念，无论是在线性代数中，还是在解析几何中，甚至在概率论中，都有不可忽略的作用．不管对于数学专业的学生学习高等代数或者非数学专业的学生学习线性代数来说，学习和理解它的含义都是十分必要的.本课题的目的在于讨论和总结两个矩阵和的秩及两个矩阵积的秩，矩阵的和与乘积是矩阵的两种基本运算，关于他们的秩可以用相关矩阵秩的不等式表示，进一步给出有条件的等式表示，本文利用矩阵的秩的几个结论，讲述矩阵的秩在线性代数，解析几何以及向量中的利用.现如今，矩阵理论在许多领域都有很广泛地应用,例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用.在解析几何中,矩阵的秩可用来判断空间中两直线、两平面及直线和平面之间的关系.在控制论中,矩阵的秩可用来确定线性系统是否为可控制的,或可观察的.此外,矩阵的秩也可用来判定向量组的线性相关性、两个向量组之间的等价、求向量组的极大无关组、向量组的线性表示、求齐次线性方程组的基础解系、求解非齐次线性方程组等等.分块矩阵是矩阵论中一个比较重要的内容，它的应用研究非常广泛和深刻，特别是在高等代数和线性代数中分块矩阵的应用更加广阔，例如在计算行列式、求逆矩阵及矩阵的秩等方面，都有着很重要的应用.但国内一些专家对其研究主要是在证2明和计算等方面.但在分块矩阵的推广方面很少有研究，难以创新，但分块矩阵的应用的研究不能仅仅停留于现在这个程度，应该使其推广和应用到其它领域之中，使之能够成为我们学习和研究便利的工具.2矩阵的秩的定义及性质2.1矩阵的秩的定义定义1一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.定义2所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩,矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.矩阵的行秩等于矩阵的列秩,并统称为矩阵的秩.另外,矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数,这是矩阵的秩的行列式定义.2.2矩阵秩的性质(1)()0rA，当且仅当A是零矩阵;(2)()rAn,当且仅当0A;(3)设A是mn矩阵,则()min,rAmn;(4)()()rABrArB;(5)()()AOAOrrrArBBCBOB;(6)设,AB分别为nm与ms矩阵,则()min{r(A),r(B),,,}rABnms;(7)转置矩阵的秩相等，即TrankArankA;(8)初等变换不改变矩阵的秩;(9),00,0rankAkrankkAk；，(10)对于任意一个n阶矩阵A，以下三种说法等价;1.矩阵A可逆；2.rankAn；3.det0A.(11)矩阵的行秩、列秩、秩相等;(12)设A为mn阶矩阵，P为m阶可逆矩阵，Q为n阶矩阵，则rankPAQrankAQrankPArankA;3(13)AOrankrankArankBOB;(14)AOrankrankArankBCB;(15)min,rankABrankArankB．特别地，若A可逆，则rankABrankB．2.3关于矩阵的秩的某些不等式、等式及其应用定理1]1[（Sylvester不等式）设A为sn矩阵，B为nm矩阵，则rankABrankArankBn.推论1若矩阵A与B为nn矩阵，且0AB，rankArankBn.定理2]1[Frobenious不等式设ABC、、依次为mn、ns、st型矩阵，则.rankABCrankABrankBCrankB性质1设矩阵AB、为n阶矩阵，则nnnrankABIrankAIrankBI.性质2若AB、是n阶矩阵，则rankABABrankArankB.定理3]1[设,,nnAPfxgxPx，则rankfArankgA=rankdArankmA，其中：,dxfxgx，mx为fx与gx的最大公因式.定理4]2[设,,,1,nnfxgxFxfxgxAF，则rankfArankgArankfAgAn.推论2设,,,,1,nnAFfxgxPxfxgx则0rankfArankgAnfAgA.推论3设,,nni