关于实数集完备性的基本定理7-1(数分教案)

第七章实数的完备性§7.1关于实数集完备性的基本定理§7.2闭区间上连续函数性质的证明§7.1关于实数集完备性的基本定理•一、区间套定理•二、确界定理•三、聚点定理•四、柯西收敛准则•五、有限覆盖定理一、区间套定理1定理,,:nnab若有闭区间列适合下面二个条件1),后一个区间在前一个区间之内1122,,,nnababab2),lim0nnnnba当时,nnab区间的端点所成的两数列都收敛于,.同一极限且是所有区间的唯一公共点x1a1b2a2bnanb3a3b:证明分析x1a1b2a2bnanb3a3b(1),,na先证有上界.nb有下界lim,lim.nnnnab从而存在(2),limlim,nnnnab再证(2).)由条件即得(3),,knkN其次任意取定,knnkaabb,kknab令得,:,kkkab有(4),.最后证是所有区间的唯一一个公共点x1a1b2a2bnanb3a3b:证明1),:由条件知1221nnaaabbb1,nab有上界1.nba有下界lim,lim.nnnnab由单调有界定理,皆存在2),又由条件lim0nnnbalimlimnnnnbalimlimnnnnab.,,knnkknkaabbN任意取定,n令limknnaalim.nknbb,:,kkkab有,.最后来证是所有区间的唯一一个公共点,:,,kkkab设有kkba则0()k,即是所有区间的唯一一个公共点.x1a1b2a2bnanbkakb:说明(1)1,,定理中将闭区间改为开区间命题不真10,.n如无公共点1)2).(2)而条件或去掉任意一个命题不真二、确界定理定义.设E数集，E，若存在数，适合：⑴xEx，⑵000,xEx；则称是数集E的上确界，表为：supE。复习说明：条件⑴指是E的上界；条件⑵指任何小于的数都不是E的上界，即是最小上界。定义.设E数集，E，若存在数，适合：⑴xEx，⑵000,xEx；则称是数集E的下确界，表为：infE。定理.(确界原理)如果数集E有上界（下界），则E必有上确界（下确界）。:证明分析,()E首先所求的上确界如果有的话[,]:ab一定在具有如下性质的区间内(1);bE此区间的右端点是的上界(2).aE此区间的左端点不是的上界.称这样的闭区间为标准区间1,aE设不是的上界1,bE是的上界11,,ab则是标准区间11,,ab将两等分取出其中一个标准区间22,,ab表为,如此下去,,nnab可得一个闭区间列:适合(2)limnnnba111lim2nnba01122(1),,abab,nnab(3),nN,,nnab都是标准区间,则由区间套定理,|,,nnnNablimlimnnnnab且x1a1b2a2bnanb3a3b,E来证是的上界,nxExb,n令limnnxb得0,,E来证不是的上界limnna,,NNaa,NaE而不是的上界00NxExa0,x从而.E故是的上确界Ex1a1b2a2bnanb3a3bxNa0x11:,,aEbE证明设不是的上界是的上界11,.ab作区间11,ab将两等分为111,,2aba111,2abb11,2abE如为的上界11122,,,2abaab记11,2abE如不是的上界11122,,,2abbab记2,aE则左端点不是的上界2,bE右端点是的上界,如此下去,,:nnab可得一个闭区间列适合1122(1),,abab,nnab(2)limnnnba111lim2nnba0(3),nN,,,nnnabaE中不是的上界2.bE是的上界,则由区间套定理,|,,nnnNablimlimnnnnab且.E来证是的上确界,nxExb,n令limnnxb得,E是的上界0,,limnna,NNaa,NaE而不是的上界00NxExa0,x从而,E不是的上界.E故是的上确界说明:在一些问题中,常用区间套定理来讨论.方法是先构造区间套,套出所要的点来.在确界定理的证明中,所作区间套,套出了“确界”定义,S设为数轴上的点集,为定点,S若的任何邻域内都含有中无穷多个点.S则称为点集的一个聚点Sxx():,.SS说明可以也可以三、聚点定理与致密性定理.1(1)nSn点集有两个聚点,1,1;121Sn点集只有一个聚点,0;,ab点集内的聚点,,;ab是上的每一点0,1,2,3,;N自然数集没有聚点12,,,.nAxxx任何有限数集都没有聚点两个等价定义:,,S定义设为数轴上的点集为定点0,若,,US中至少含有中一个点,US即.S则称为点集的一个聚点Sxx,,S定义设为数轴上的点集为定点()Sxnx,nxS若存在各项互异的收敛数列limnnx使.S则称为点集的一个聚点1x2x来证明这三个定义是等价的.即证,,S设为数轴上的点集为定点:则下列条件等价(1);S若的任何邻域内都含有中无穷多个点(2)0,:,;US若有(3),nxS若存在各项互异的收敛数列lim.nnx使:(1)(2)证法(3)(1):(1)(2).证明系显然(2)(3)现证(3)(1)现证,lim.nnnxSx存在各项互异的收敛数列使0,,,nNnNxN有:,.nUxS中有无穷多21min12,,x对2,xS21xx且220;x使1min1,,nnnx对,nxS121,,,nnxxxx且与互异,0;nnx使,,如此下去无限地重复以上步骤S得到中各项互异,nx的数列1,nnxn且lim.nnx故x()22()nn()111x2xnx11,对1,xS110;x使0,,0;xSx总存在使:()Weierstrass定理聚点定理.S实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点:证明方法.用区间套定理来证,S先套出数集的一个聚点来.S再证明就是的聚点,[,],ab注意套出聚点的闭区间.S必含有中无限多个点:证明,S有界11,,ab设有下界有上界11,;abS11,,ab将二等分,S则其中必有一个闭区间中含有中无穷多个点S(为无限集),22,;ab记此区间为x1a1b2a2bS,:如此下去得,,:nnab一个闭区间列适合(1),nnabS每一个都含有中无穷多个点;(2),nnab适合闭区间套定理.(2),|,nnab由(1,2,).n00limlim,nnnnab且,0,,,:,,nnNnNabUN于是有(1),,US由内含有中无穷多个点,.S是的聚点22,,ab将二等分,S则其中必有一个闭区间中含有中无穷多个点,33,;ab记此区间为x1a1b2a2bnanb3a3bS()我们有收敛数列必定有界,而有界数列未必收敛。但有界数列的无限多项，在有限区间上分布，直观上，数列会在一些点凝聚，即在某点的任何邻域内，都有数列的项。——这种点称为数列的聚点。这时，是否能在有界数列中，取一子列收敛于这一点呢？回答是肯定的。xnx例如:1(1)nn数列1,1;12有两个聚点,1n数列0;只有一个聚点,(1)n数列1,1;12也有两个聚点,:证明,.nx设为有界数列分情况讨论(1),nx若中有无限多个相等的项则由这些项组成,的子列是一个常数列,knx记此常数列为.收敛(2),nx若中不含有无限多个相等的项nx则在数轴上对应的点集必为有界无限点集,故由聚点定理,,nx点集至少有一个聚点.记为,由聚点定义,knnxx中存在一子列0lim.knkx,.knnnxxx如果有界中必一子列收敛致密性定理,:nx当数列为无界时也有一个相仿的性质nx如数列无界knnxx中必存在一个子列四、柯西收敛准则柯西收敛准则nx数列收敛0,,,,:nmNnmNxxN有:证明,已证(),由魏尔斯脱拉斯定理来证,nx先证有界0,,,,:nmNnmNxxN有1,取0,NN0,nN01:1nNxx有nx0011nNNxxx011Nx,nN00121:max,,,,1nNNxxxxx有,nx即有界,由魏尔斯脱拉斯定理,knnxx存在一收敛子列,knxa记0,,KN,kK:2knxa有,由已知0,对上述的1,NN1,nN:2nmxx有1max,,KNNn取,nN:nxa有11NNnnnxxxa11NNnnnxxxa22(,1)1;KNNnK这里112)1,)NnNNlim,nnxa.nx即收敛五、有限覆盖定理定义(),HH设是一区间集即的元素为区间S是一区间,Sx若对于区间上的任一点,H在中至少可找到一区间,x使,HS则称覆盖.HS或为的一个覆盖(,,)xSHx即使,此时(1)H若是一开区间集,.HS则称为的一个开覆盖(,),H即的每一元素都为开区间()(2)H若中区间的个数是无限的(),有限的HS则称为的一个无限覆盖.(有限覆盖):(1)例如11,(0,1)2nnHnnnN覆盖了000(2),[,][,].Hxxxabab覆盖了()定理有限覆盖定理[,]Hab若开区间所组成的区间集覆盖了一个闭区间H总可以从中选出有限个区间,[,].ab使这有限个区间覆盖:()()证明由区间套定理反证法[,].abH设不能被中任何有限个区间覆盖,为两个部分区间H则至少有一个部分区间不能被中[,]ab等分,任何有限个区间覆盖11[,],ab此区间记为11[,],ab再等分H记不能被中有限个区间所覆盖的22[,].ab那个部分区间为,照这样作无限次分割[,],nnab得到一个区间列:这区间列适合下列三条件(1).[,]nnabH每一均不能被中任何有限个区间所覆盖;1122(2).[,][,][,]ababab(3).2nnnbaba0(2),(3),由条件,根据区间套定理[,],ab则存在唯一点,,nnab且,由定理所设条件,H在中至少存在一个开区间(,),设为(,),使或,由收敛数列的不等式性质,,:NnNN有nanb[,](,)nnab即(,)[,],nnHab也就是用中一个区间就可覆盖区间(1).与矛盾: